A translação horizontal e vertical é uma transformação que nos permite modificar o gráfico da função original. Dada a função f(x), podemos deslocar a função horizontalmente com a transformação f(x+a) e verticalmente com a transformação f+a onde a é um valor que pode ser positivo ou negativo.
A seguir, aprenderemos tudo sobre como transladar uma função horizontalmente e verticalmente. Veremos alguns exemplos para ilustrar os conceitos.
ÁLGEBRA
Relevante para…
Conhecer mais sobre a translação horizontal e vertical de funções.
ÁLGEBRA
Relevante para…
Conhecer mais sobre a translação horizontal e vertical de funções.
Determinar a translação horizontal de uma função
A translação horizontal em uma função é uma transformação que produz um movimento para a esquerda ou para a direita na função original. Ou seja, a translação ocorre paralelamente ao eixo x.
Podemos entender a translação horizontal de uma função tomando a função $latex f(x)=2x-1$ como exemplo. Quando traçamos o gráfico dessa função, obtemos a seguinte reta:
Agora, vamos aplicar as transformações (i) $latex f(x+2)$ e (ii) $latex f(x-2)$. Então, usando a função original $latex f(x)=2x-1$ e simplificando as transformações, temos:
(i) $latex f(x+2)=2(x+2)-1~$ e (ii) $latex f(x-2)=2(x-2)-1$
(i) $latex f(x+2)=2x+3~$ e (ii) $latex f(x-2)=2x-5$
Podemos então representar graficamente as funções (i) e (ii) usando o mesmo plano coordenado da função original para comparar seus gráficos. Então temos:
No caso (i), a transformação $latex f(x+2)$ produziu uma translação de 2 unidades para a esquerda. Ou seja, -2 unidades paralelas ao eixo x.
No caso (ii), a transformação $latex f(x-2)$ produziu uma translação de 2 unidades para a direita. Ou seja, 2 unidades paralelas ao eixo x.
Resumindo, temos:
- A transformação $latex f(x+a)$ resulta em uma translação no gráfico original de f de $latex para $ unidades para a esquerda.
- A transformação $latex f(x-a)$ resulta em uma translação no gráfico original de f de $latex para $ unidades para a direita.
Determinar a translação vertical de uma função
A translação vertical de uma função é uma transformação que faz com que o gráfico da função original seja movido para cima ou para baixo. Ou seja, a translação ocorre paralelamente ao eixo y.
Para entender a translação vertical de uma função, podemos considerar a função $latex f(x)=x^2$ como exemplo. Se fizermos o gráfico dessa função, obteremos a seguinte curva:
Se agora somarmos e subtrairmos 1 unidade da função original, teremos as funções (i) $latex f(x)+1$ e (ii) $latex f(x)-1$. Simplificando, temos:
(i) $latex f(x)+1=x^2+1~$ e (ii) $latex f(x)-1=x^2-1$
Usando o mesmo plano cartesiano da função original $latex f(x)$, podemos representar graficamente as funções (i) e (ii) para obter o seguinte:
Podemos ver que, no caso (i), o gráfico de f foi movido 1 unidade para cima. Ou seja, 1 unidade paralela ao eixo y.
Por outro lado, o gráfico da função (ii) é igual ao gráfico de f movido 1 unidade para baixo. Ou seja, -1 unidade paralela ao eixo y.
Em resumo, temos o seguinte:
- A transformação $latex f(x)+a$ produz uma translação no gráfico original de $latex f(x)$ de $latex para $ unidades para cima.
- A transformação $latex f(x)-a$ produz uma translação no gráfico original de $latex f(x)$ de $latex para $ unidades para baixo.
Exemplos de translação horizontal e vertical em funções
EXEMPLO 1
Esboce o gráfico de $latex f(x)=x^2-1$. Então, encontre a equação da transformação $latex g(x)=f(x+2)$ e faça o gráfico dela.
Solução
Começando com o gráfico de $latex f(x)$, temos:
Agora, podemos encontrar a equação da função $latex g(x)$ aplicando a transformação na função original e simplificando:
$latex g(x)=f(x+2)$
$latex =(x+2)^2-1$
$latex =x^2+4x+4-1$
$latex =x^2+4x+3$
Podemos representar graficamente a função $latex g(x)$ considerando que o gráfico de g pode ser obtido com uma translação do gráfico de f por 2 unidades à esquerda, ou seja, -2 unidades no eixo x.
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EXEMPLO 2
Temos a função $latex f(x)=x^3$. Se tivermos a função $latex g(x)=x^3-3$, obtenha os gráficos de g e f.
Solução
A função f é a função cúbica de base. Essa função é plotada no lado esquerdo do diagrama a seguir.
No caso da função g, vemos que esta função é equivalente à função f com uma translação vertical de -3 unidades, como podemos ver no gráfico à direita do diagrama a seguir.
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EXEMPLO 3
Faça o gráfico da função cosseno em sua forma básica. Em seguida, faça o gráfico de duas funções cosseno que são transladadas 1 unidade e 2 unidades para a direita da forma base.
Solução
A função cosseno base, $latex f(x)=cos(x)$, tem valor 1 quando x é igual a 0. Além disso, ela passa pelo ponto (π/2, 0) e tem um período π.
Para aplicar uma translação de 1 unidade e 2 unidades para a direita, temos que aplicar as transformações $latex g(x)=f(x-1)$ e $latex h(x)=f(x-2)$ respectivamente.
Fazendo o gráfico das três funções, temos:
EXEMPLO 4
Faça o gráfico da função $latex f(x)=\cos(x)+2$.
Solução
Ao comparar a função dada com a função cosseno padrão $latex f(x)=\cos(x)$, podemos deduzir que foi aplicada uma translação vertical de 2 unidades para cima.
Assim, podemos representar graficamente a função $latex f(x)=\cos(x)+2$ representando graficamente uma função cosseno básica e movendo-a 2 unidades para cima:
EXEMPLO 5
Obtenha o gráfico de $latex g(x)=|x-2|$.
Solução
Neste exemplo, temos a função de valor absoluto. Em sua forma básica, $latex f(x)=|x|$, o gráfico da função de valor absoluto é:
Assim, o gráfico de $latex g(x)=|x-2|$ pode ser obtido com uma translação do gráfico da função de valor absoluto 2 unidades para a direita na forma base:
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EXEMPLO 6
Qual é o gráfico de $latex g(x)=|x|-2$?
Solução
Aqui, temos a função de valor absoluto. Em sua forma básica, $latex f(x)=|x|$, o gráfico da função de valor absoluto é o seguinte:
Assim, podemos obter o gráfico de $latex g(x)=|x|-2$ se movermos o gráfico da função de valor absoluto base 2 unidades para baixo:
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EXEMPLO 7
Que transformação precisamos aplicar para transladar a função $latex f(x)=\tan(5x-2)$ -4 unidades paralelamente ao eixo x?
Solução
Uma translação de -4 unidades paralelo ao eixo x é equivalente a aplicar um deslocamento de 4 unidades para a esquerda.
Podemos realizar essa translação aplicando a transformação $latex f(x-4)$. Neste caso, temos a função $latex f(x)=\tan(5x-2)$. Então temos:
$latex f(x-4)=\tan(5(x-4)-2)$
$latex f(x-4)=\tan(5x-20-2)$
$latex f(x-4)=\tan(5x-22)$
EXEMPLO 8
Que mudanças precisamos fazer na função $latex f(x)=\tan(5x-2)$ se quisermos deslocá-la -5 unidades paralelamente ao eixo y?
Solução
Uma translação de -5 unidades paralelo ao eixo y é o mesmo que aplicar uma translação de 5 unidades para baixo na função original.
Para realizar esta translação, aplicamos a transformação $latex f(x)-5$. Neste caso, temos a função $latex f(x)=\tan(5x-2)$. Então temos:
$latex f(x)-5=\tan(5x-2)-5$
Exercícios de translação horizontal e vertical para resolver
Qual função tem um deslocamento de 6 unidades para cima em relação à função $latex f(x)=-2x-3$?
Escreva a resposta na caixa.
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Jefferson Huera Guzman
Jefferson é o principal autor e administrador do Neurochispas.com. O conteúdo interativo de Matemática e Física que criei ajudou muitos alunos.
