Existem várias transformações que podemos aplicar a funções para modificar seus gráficos. Podemos aplicar uma translação vertical ou uma translação horizontal. Além disso, também podemos produzir reflexões em relação ao eixo x e ao eixo y. Finalmente, podemos esticar ou comprimir os gráficos.
A seguir, aprenderemos sobre as diferentes transformações usadas para modificar os gráficos de funções. Usaremos vários exemplos para entender as ideias.
Translação vertical de uma função
Considere a função f definida por $latex f(x)=x^2$. Se fizermos o gráfico dessa função, teremos o seguinte:
Agora, se simplificarmos as expressões para (i) $latex f(x)+1$ e para (ii) $latex f(x)-1$, temos:
(i) $latex f(x)+1=x^2+1~$ e (ii) $latex f(x)-1=x^2-1$
Traçando as funções (i) e (ii) no mesmo plano de coordenadas da função original, obtemos as curvas mostradas no diagrama a seguir:
No caso (i), o gráfico de f foi transladado 1 unidade para cima. Ou seja, 1 unidade paralela ao eixo y.
No caso (ii), o gráfico de f foi transladado 1 unidade para baixo. Ou seja, -1 unidade paralela ao eixo y.
Em geral, temos o seguinte:
- A transformação $latex f(x)+a$, onde $latex a$ é uma constante, produz uma translação no gráfico de f de $latex a$ unidades paralelas ao eixo y (para cima).
- A transformação $latex f(x)-a$, onde $latex a$ é uma constante, produz uma translação no gráfico de f por $latex -a$ unidades paralelas ao eixo y (para baixo).
EXEMPLO
A função f é definida por $latex f(x)=x^3$. Faça o gráfico de f e, em seguida, faça o gráfico de $latex g(x)=x^3-3$.
Solução: O gráfico de f é mostrado no lado esquerdo do gráfico abaixo.
Como $latex g(x)=f(x)-3$, podemos obter o gráfico da função g com a translação do gráfico de f por -3 unidades em relação ao eixo y (3 unidades para baixo). Este gráfico é mostrado à direita:
Translação horizontal de uma função
Considere a função f definida por $latex f(x)=2x-1$. Ao representar graficamente esta função, obtemos uma reta como mostrado no gráfico a seguir:
Agora, se simplificarmos as expressões para (i) $latex f(x+2)$ e para (ii) $latex f(x-2)$, temos:
(i) $latex f(x+2)=2(x+2)-1~$ e (ii) $latex f(x-2)=2(x-2)-1$
(i) $latex f(x+2)=2x+3~$ e (ii) $latex f(x-2)=2x-5$
Se representarmos graficamente as funções (i) e (ii) no mesmo plano cartesiano da função original, obteremos as seguintes retas:
No caso (i), o gráfico de f foi transladado 2 unidades para a esquerda. Ou seja, -2 unidades paralelas ao eixo x.
No caso (ii), o gráfico de f foi transladado 2 unidades para a direita. Ou seja, 2 unidades paralelas ao eixo x.
Em geral, temos o seguinte:
- A transformação $latex f(x+a)$, onde $latex a$ é uma constante, produz uma translação no gráfico de f por $latex -a$ unidades paralelas ao eixo x (à esquerda).
- A transformação $latex f(x-a)$, onde $latex a$ é uma constante, produz uma translação no gráfico de f de $latex para $ unidades paralelas ao eixo x (para a direita).
EXEMPLO
Faça o gráfico da função $latex f(x)=x^2-1$. Em seguida, encontre a versão simplificada de $latex g(x)=f(x+2)$ e faça um gráfico.
Solução: O gráfico da função f é o seguinte:
Agora, a função g é dada por:
$latex g(x)=f(x+2)$
$latex =(x+2)^2-1$
$latex =x^2+4x+4-1$
$latex =x^2+4x+3$
Como $latex g(x)=f(x+2)$, o gráfico de g pode ser obtido com una translação do gráfico de f por 2 unidades à esquerda, ou seja, -2 unidades no eixo x.
Reflexão de funções
Vamos considerar a função f definida por $latex f(x)=x+1$. Quando traçamos o gráfico dessa função, obtemos a linha mostrada no gráfico a seguir:
Agora, vamos considerar as seguintes funções:
(i) $latex -f(x)=-(x+1)=-x-1$
(ii) $latex f(-x)=(-x)+1=-x+1$
Traçando as funções (i) e (ii) no mesmo plano cartesiano da função original, obtemos as seguintes retas:
No caso (i), o gráfico de f foi refletido em torno do eixo x.
No caso (ii), o gráfico de f foi refletido em torno do eixo y.
Em geral, temos o seguinte:
- A transformação $latex -f(x)$ produz uma reflexão do gráfico de f em relação ao eixo x.
- A transformação $latex f(-x)$, produz uma reflexão do gráfico de f em relação ao eixo y.
EXEMPLO
Faça o gráfico da função $latex f(x)=x^2-2$. Em seguida, faça o gráfico da função $latex g(x)=-f(x)$.
Solução: O gráfico da função f é o seguinte:
Agora, a função g é dada por $latex g(x)=-x^2+2$ e seu gráfico pode ser obtido refletindo o gráfico de f sobre o eixo x:
Alongamento de funções
Considere a função f definida por $latex f(x)=x+1$. Quando traçamos o gráfico dessa função, obtemos a reta mostrada no gráfico a seguir:
Agora, vamos considerar as funções (i) $latex f(2x)$ e (ii) $latex 2f(x)$. Então temos:
(i) $latex f(2x)=(2x)+1~$ e (ii) $latex 2f(x)=2(x+1)$
(i) $latex f(2x)=2x+1~$ e (ii) $latex 2f(x)=2x+2$
Ao plotar as funções (i) e (ii) no mesmo plano de coordenadas da função original, obtemos o seguinte:
No caso (i), o gráfico de f foi esticado em torno do eixo x por um fator de $latex \frac{1}{2}$.
No caso (ii), o gráfico de f foi esticado em torno do eixo y por um fator de 2.
Em geral, temos o seguinte:
- A transformação $latex f(ax)$, onde $latex a$ é uma constante, produz um alongamento em torno do eixo x por um fator de $latex \frac{1}{a}$.
- A transformação $latex af(x)$, onde $latex a$ é uma constante, produz um alongamento em torno do eixo y por um fator de $latex a$.
EXEMPLO
Faça o gráfico da função $latex f(x)=x+2$. Em seguida, faça o gráfico da função $latex g(x)=3f(x)$.
Solução: O gráfico da função f é o seguinte:
Quando simplificamos, podemos ver que a função g é dada por $latex g(x)=3x+6$. Podemos obter o gráfico dessa função esticando a função de f por um fator de 3 em torno do eixo y.
Veja também
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Jefferson Huera Guzman
Jefferson é o principal autor e administrador do Neurochispas.com. O conteúdo interativo de Matemática e Física que criei ajudou muitos alunos.
