Reflexão de funções sobre o eixo x e o eixo y

Realizar reflexões de uma função sobre o eixo x e o eixo y

As reflexões de uma função são transformações que conseguem que o gráfico da função se reflita com respeito a um dos eixos. Uma reflexão equivale a “inverter” o gráfico da função usando os eixos como referências.

Podemos entender este conceito usando a função $latex f(x)=x+1$. Quando traçamos o gráfico dessa função, obtemos a reta mostrada no gráfico a seguir:

Agora, podemos realizar duas transformações diferentes na função $latex f(x)$ para obter as seguintes funções:

(i) $latex -f(x)=-(x+1)=-x-1$

(ii) $latex f(-x)=(-x)+1=-x+1$

Se plotarmos as funções (i) e (ii) com a função original $latex f(x)$, teremos:

No caso (i), o gráfico da função original $latex f(x)$ foi refletido em relação ao eixo x.

No caso (ii), o gráfico da função original $latex f(x)$ foi refletido em relação ao eixo y.

Exemplos de reflexão de funções

Nos exemplos a seguir, aplicamos o que aprendemos sobre reflexão de funções sobre o eixo x e sobre o eixo y. Cada exemplo tem uma solução detalhada.

Solução

O gráfico de f é uma parábola transladada 2 unidades para baixo, como mostrado no gráfico abaixo:

Agora, quando aplicamos a transformação na função g, obtemos $latex g(x)=-x^2+2$. Podemos obter seu gráfico refletindo o gráfico de f em torno do eixo x:

.

const alltoggles = document.getElementsByClassName("wp-block-ub-content-toggle-accordion-title-wrap"); const toggle1 = alltoggles[0]; toggle1.addEventListener('click', runToggle1); function runToggle1() { freestar.config.enabled_slots.push({ placementName: "neurochispas_leaderboard_3", slotId: "neurochispas_leaderboard_3" }); toggle1.removeEventListener('click', runToggle1); }

Solução

O gráfico da função $latex f(x)=\cos(2x)$ é o seguinte:

Podemos ver que a função g é equivalente a $latex g(x)=f(-x)$. Então, a função g é obtida aplicando uma reflexão sobre o eixo y.

Agora, podemos ver que o gráfico de $latex f(x)=\cos(2x)$ tem simetria em relação ao eixo y. Isso significa que, se refletirmos sobre o eixo y, obteremos o mesmo gráfico.

Portanto, os gráficos de $latex f(x)=\cos(2x)$ e $latex g(x)=\cos(-2x)$ são os mesmos.

const toggle2 = alltoggles[1]; toggle2.addEventListener('click', runToggle2); function runToggle2() { freestar.config.enabled_slots.push({ placementName: "neurochispas_leaderboard_3", slotId: "neurochispas_leaderboard_3_2" }); toggle2.removeEventListener('click', runToggle2);}

Solução

O gráfico da função de valor absoluto em sua forma básica, $latex f(x)=|x|$, é o seguinte:

Agora, podemos ver que a função g é igual a $latex g(x)=-f(x)$. Assim, obtemos o gráfico de g aplicando uma reflexão sobre o eixo x ao gráfico de f.

.

const toggle3 = alltoggles[2]; toggle3.addEventListener('click', runToggle3); function runToggle3() { freestar.config.enabled_slots.push({ placementName: "neurochispas_leaderboard_3", slotId: "neurochispas_leaderboard_3_3" }); toggle3.removeEventListener('click', runToggle3);}

Exercícios de reflexão de funções para resolver

Resolva os exercícios a seguir usando tudo o que você aprendeu sobre reflexão de funções.

Veja também

Interessado em aprender mais sobre transformações de funções? Veja estas páginas:

• Transformações dos gráficos de funções
• Translação vertical de uma função
• Translação horizontal de uma função
• Alongamento e compressão de funções