Raízes Complexas de um Polinômio

O número de raízes em um polinômio é igual ao grau desse polinômio. Por exemplo, em polinômios quadráticos, sempre teremos duas raízes contadas por multiplicidade. Essas raízes podem ser reais ou complexas, dependendo do determinante da equação quadrática.

A seguir, aprenderemos sobre o Teorema Fundamental da Álgebra e o Teorema das Raízes Conjugadas. Usaremos esses teoremas para aprender sobre as raízes complexas de um polinômio. Além disso, veremos alguns exemplos para aprender como obter as raízes complexas de um polinômio quadrático usando a fórmula de Bhaskara.

ALGEBRA
Raízes complexas de um polinômio

Relevante para

Aprender como encontrar as raízes complexas de um polinômio.

Ver exercícios

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Raízes complexas de um polinômio

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Aprender como encontrar as raízes complexas de um polinômio.

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Como saber quantas raízes complexas um polinômio possui?

Para determinar quantas raízes complexas um polinômio possui, temos que usar o teorema fundamental da álgebra. Este teorema nos diz que:

Teorema fundamental da álgebra

Um polinômio $latex p(x)$ de grau n com coeficientes complexos tem, contado com multiplicidade, exatamente n raízes.

A parte “contado com multiplicidade” significa que devemos contar as raízes pela sua multiplicidade, ou seja, pelas vezes que se repetem. Por exemplo, na equação $latex {{(x-2)}^3}(x+2)=0$, temos um polinômio de grau quatro.

No entanto, só podemos contar duas raízes reais. Isso ocorre porque a raiz em $latex x = 2$ é uma raiz múltipla com multiplicidade de três. Portanto, o número total de raízes, ao contar a multiplicidade, é quatro.


Raízes complexas de um polinômio quadrático

Primeiro, vamos começar considerando o teorema das raízes conjugadas:

Teorema das raízes conjugadas

Temos que $latex p(x)$ é um polinômio com coeficientes complexos. Se o número complexo $latex z= a+bi$ é uma raiz do polinômio p, então seu conjugado $latex {{z}^{\ast}}=a-bi$ também é uma raiz.

A partir do teorema fundamental do cálculo, sabemos que qualquer equação quadrática terá duas raízes. E a partir do teorema das raízes conjugadas, sabemos que se o polinômio tiver coeficientes reais e se não tiver raízes reais, então suas raízes serão um par de conjugados complexos.

Se tiver raízes reais, pode ter duas raízes reais diferentes ou uma raiz real repetida. Não é possível ter uma raiz conjugada e uma raiz real. Para distinguir entre esses diferentes casos, temos o conceito de discriminante:

Discriminante

O discriminante de uma equação quadrática $latex a{{x}^2}+bx+c=0$ é definido como $latex {{b}^2}-4ac$. Muitas vezes , $latex \Delta$ é usado para denotar o discriminante.

Usando o discriminante, podemos distinguir os três tipos de casos em equações quadráticas da seguinte forma:

1. Discriminante positivo: $latex {{b}^2}-4ac>0$, duas raízes reais;

2. Discriminante zero: $latex {{b}^2}-4ac=0$, uma raiz real repetida;

3. Discriminante negativo: $latex {{b}^2}-4ac<0$, raízes conjugadas complexas.

Os gráficos a seguir mostram cada caso:

função quadrática com duas raízes
função quadrática com uma raíz
função quadrática com zero raízes

Portanto, usamos a fórmula quadrática para encontrar as raízes reais ou complexas de um polinômio quadrático:

$latex x=\frac{{-b\pm \sqrt{{{{b}^{2}}-4ac}}}}{{2a}}$

Exercícios resolvidos de raízes complexas de um polinômio

Os exercícios a seguir usam o que você aprendeu sobre o teorema fundamental da álgebra, o teorema das raízes conjugadas e as raízes complexas dos polinômios quadráticos. Tente resolver os exercícios sozinho antes de ver a resposta.

EXERCÍCIO 1

Quantas raízes o polinômio $latex (2{{x}^3}+2x+1)(3{{x}^2} -3)$ tem?

Solução

EXERCÍCIO 2

Determine o tipo de raízes da equação $latex {{x}^2} -2x+3=0$.

Solução

EXERCÍCIO 3

Resolva a equação $latex 5{{x}^2}=-320$.

Solução

EXERCÍCIO 4

Encontre as raízes do polinômio quadrático $latex {{x}^2} -4x+8=0$.

Solução

EXERCÍCIO 5

Encontre as soluções para a equação $latex 3{{x}^2} -4x+10=0$.

Solução

Exercícios de raízes complexas de um polinômio para resolver

Aplique o que você aprendeu sobre raízes complexas para encontrar as raízes complexas dos polinômios quadráticos a seguir. Se precisar de ajuda com esses exercícios, você pode consultar os exercícios resolvidos acima.

Encontre as raízes de $latex 4{{x}^2}+64=0$.

Escolha uma resposta






Resolva a equação $latex {{x}^2}-10x+34=0$.

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Encontre as raízes de $latex {{x}^2}-3x+5=0$.

Escolha uma resposta








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Jefferson Huera Guzman

Jefferson é o principal autor e administrador do Neurochispas.com. O conteúdo interativo de Matemática e Física que criei ajudou muitos alunos.

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