As raízes complexas conjugadas de um polinômio são aquelas raízes complexas que são conjugadas entre si. Lembre-se de que os conjugados são dois números complexos que possuem a mesma parte real e possuem a parte negativa com um sinal diferente um do outro.
A seguir, faremos uma revisão dos números complexos conjugados. Além disso, conheceremos o teorema das raízes conjugadas de um polinômio. Finalmente, veremos vários exercícios de raízes complexas conjugadas para examinar a aplicação desse teorema.
O que são conjugados de números complexos?
Conjugados complexos são dois números complexos, então eles têm a forma $latex a+bi$, onde a e b são números reais e $latex i =\sqrt{-1}$. A a é chamada de parte real de um número complexo e bi é chamada de parte imaginária.
Dois números complexos são conjugados entre si se tiverem a mesma parte real e as partes imaginárias forem negativas entre si. Isso significa que o conjugado do número $latex a+bi$ é $latex a-bi$.
Por exemplo, se tivermos o número complexo $latex 4+5i$, sabemos que seu conjugado é $latex 4-5i$. Da mesma forma, o conjugado complexo de $latex 2-4i$ é $latex 2+4i$. Encontrar o conjugado de um número complexo é muito fácil, simplesmente mudamos o sinal da parte imaginária do número.
O que são raízes conjugadas complexas?
As raízes conjugadas complexas podem ser descritas usando o teorema das raízes conjugadas:
Teorema das raízes conjugadas
Se o número complexo $latex a+bi$ é uma raiz do polinômio $latex P(x)$ em uma variável com coeficientes reais, então o conjugado complexo $latex a-bi$ também é uma raiz desse polinômio.
Este teorema é muito útil para encontrar raízes de polinômios. Por exemplo, suponha que estejamos tentando encontrar todas as raízes de um polinômio e, à medida que resolvemos, descobrimos que $latex a+bi$ é a raiz do polinômio.
Sabendo disso, conhecemos automaticamente outra raiz. Pelo teorema das raízes conjugadas, sabemos que se $latex a+bi$ é uma raiz, então $latex a-bi$ deve ser uma raiz.
Por exemplo, se descobrirmos que $latex 6-3i$ é a raiz de um polinômio, então $latex 6+3i$ também é uma raiz desse polinômio. Este teorema nos economiza tempo e esforço por não termos que usar um processo adicional para encontrar essa raiz.
Exercícios resolvidos de raízes complexas conjugadas
O teorema das raízes conjugadas complexas é usado para resolver os exercícios a seguir. Cada exercício tem sua respectiva solução, mas é recomendável que você tente resolver os exercícios antes de olhar a resposta.
EXERCÍCIO 1
Se $latex z =2+3i$ é uma raiz de $latex p(z)={{z}^2}-4z+13$, mostre que $latex {{z}^{\ast}}= 2-3i$ é outra raiz.
Solução
Sabemos que se z é a raiz de um polinômio, devemos ter $latex p(z)=0$. Portanto, podemos usar $latex z = 2-3i$ no polinômio e definir zero para verificar se é uma raiz:
$$ p(2-3i)={{(2-3i)}^2}-4(2-3i)+13$$
$latex =4-12i+9{{i}^2}-8+12i+13$
$latex =9+9(-1)$
$latex =0$
Obtemos zero após substituir $latex z = 2-3i$ no polinômio. Isso significa que é uma raiz.
EXERCÍCIO 2
Quais são as raízes de $latex 4{{x}^2}+10=-90$?
Solução
Esta equação pode ser resolvida diretamente resolvendo a variável em um lado da equação.
Subtraímos 10 de ambos os lados e, em seguida, dividimos por 4 para resolver para $latex {{x}^2}$:
$latex 4{{x}^2}+10=-90$
$latex 4{{x}^2}=-100$
$latex {{x}^2}=-25$
Agora, podemos calcular a raiz quadrada de ambos os lados da equação. Usamos o sinal $latex \pm$, pois temos uma raiz positiva e uma negativa:
$latex x=\pm\sqrt{-25}$
Sabemos que podemos reescrever $latex \sqrt{-a}$ como $latex i \sqrt{a}$. Então, temos:
$latex x=\pm i\sqrt{25}$
$latex =\pm 5i$
Então, as raízes do polinômio são os conjugados $latex x=5i $ e $latex x=-5i$.
EXERCÍCIO 3
Quais são as raízes do polinômio quadrático $latex {{x}^2}-4x+8=0$?
Solução
Nesse caso, podemos usar a fórmula de Bhaskara para resolver:
$latex x=\frac{{-b\pm \sqrt{{{{b}^{2}}-4ac}}}}{{2a}}$
Aqui, temos os valores $latex a = 1$, $latex b = -4$ e $latex c = 8$. Então, substituindo esses valores, temos:
$latex x=\frac{{-(-4)\pm \sqrt{{{{{( -4)}}^{2}}-4( 1 )(8)}}}}{{2( 1)}}$
$latex =\frac{{4\pm \sqrt{{16-32}}}}{2}$
$latex =\frac{{4\pm \sqrt{{-16}}}}{2}$
$latex =\frac{4}{2}\pm \frac{\sqrt{{-16}}}{2}$
$latex =2\pm \frac{\sqrt{{-16}}}{2}$
Novamente, podemos usar o fato de que $latex \sqrt{-a}=i\sqrt{a}$ para reescrever a expressão:
$latex x=2\pm \frac{\sqrt{{16}}}{2}i$
$latex =2\pm \frac{4}{2}i$
$latex =2\pm 2i$
Obtivemos as duas soluções conjugadas para a equação quadrática:
$latex x=2+2i$, $latex x=2-2i$
EXERCÍCIO 4
Resolva a equação $latex 3{{x}^2}-4x+10=0$ e encontre suas raízes.
Solução
Semelhante ao exercício anterior, podemos usar a fórmula de Bhaskara com os valores $latex a=3$, $latex b=-4$ e $latex c=10$. Então, temos:
$latex x=\frac{{-(-4)\pm \sqrt{{{{{( -4)}}^{2}}-4( 3 )(10)}}}}{{2( 3)}}$
$latex =\frac{{4\pm \sqrt{{16-120}}}}{6}$
$latex =\frac{{4\pm \sqrt{{-104}}}}{6}$
$latex =\frac{{4\pm \sqrt{{-4}}\sqrt{{26}}}}{6}$
$latex =\frac{{4\pm 2i \sqrt{{26}}}}{6}$
$latex =\frac{{2\pm i \sqrt{{26}}}}{3}$
As soluções conjugadas da equação quadrática são:
$latex =\frac{{2+ i \sqrt{{26}}}}{3}$, $latex =\frac{{2- i \sqrt{{26}}}}{3}$
Calculadora de Raízes Complexas
Exercícios de raízes complexas conjugadas para resolver
Coloque em prática o que você aprendeu sobre raízes conjugadas complexas para resolver os exercícios a seguir. Se precisar de ajuda com esses exercícios, você pode consultar os exercícios resolvidos acima.
Veja também
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Jefferson Huera Guzman
Jefferson é o principal autor e administrador do Neurochispas.com. O conteúdo interativo de Matemática e Física que criei ajudou muitos alunos.
