Inequações Quadráticas com Exercícios

Para resolver a inequação, precisamos encontrar as raízes da equação $latex x^2+3x-4=0$. Podemos fazer isso usando a fatoração:

$latex x^2+3x-4=0$

$latex (x+4)(x-1)=0$

$latex x=-4~~$ ou $latex ~~x=1$

Agora, podemos desenhar um gráfico para facilitar a resolução do problema:

Temos a inequação $latex x^2+3x-4<0$, que nos diz que precisamos da parte com valores menores que 0. Ou seja, precisamos da parte que está abaixo do eixo x.

Usando o gráfico, podemos deduzir que isso acontece quando $latex -4<x<1$.

Para resolver a inequação, precisamos começar encontrando os valores de x na equação $latex x^2+x-2=0$. Então, podemos usar a fatoração:

$latex x^2+x-2=0$

$latex (x+2)(x-1)=0$

$latex x=-2~~$ ou $latex ~~x=1$

A parábola formada pela equação $latex y=x^2+x-2$ se abre e tem a forma de U porque o termo quadrático é positivo:

A inequação $latex x^2+x-2>0$ indica que os valores são sempre maiores que 0. Usando o gráfico, podemos deduzir que isso acontece quando $latex x<-2~$ ou $latex ~x >1$.

Precisamos encontrar os valores de x na equação $latex x^2+2x-8=0$. Podemos fazer isso usando a fatoração:

$latex x^2+2x-8=0$

$latex (x+4)(x-2)=0$

$latex x=-4~~$ ou $latex ~~x=2$

Vamos resolver sem usar o gráfico. Para isso, temos que considerar que como o termo quadrático é positivo, a parábola formada por $latex y=x^2+2x-8$ se abrirá.

Agora, a inequação $latex x^2+2x-8<0$ indica que precisamos apenas dos valores que são menores que 0, ou seja, a parte que está abaixo do eixo x. Isso acontece quando $latex -4<x<2$.

Começamos simplificando da seguinte forma:

$latex x^2+8x+4>2x-4$

$latex x^2+6x+8>0$

Agora, podemos formar a equação $latex x^2+6x+8=0$ e resolver fatorando:

$latex x^2+6x+8=0$

$latex (x+4)(x+2)=0$

$latex x=-4~~$ ou $latex ~~x=-2$

A inequação $latex x^2+6x+8>0$ significa que os valores são sempre maiores que 0. Isso significa que precisamos da parte da parábola que está acima do eixo x.

Como a parábola se abre (o termo quadrático é positivo), a solução para a inequação é $latex x<-4~$ ou $latex ~x>-2$.

Podemos combinar termos semelhantes e escrever a inequação na forma $latex ax^2+bx+c<0$:

$latex x^2+2x-12<x+8$

$latex x^2+x-20<0$

Podemos encontrar os valores de x formando a equação $latex x^2+x-20=0$ e resolvendo usando fatoração:

$latex x^2+x-20=0$

$latex (x+5)(x-4)=0$

$latex x=-5~~$ ou $latex ~~x=4$

Agora, precisamos encontrar os valores de x que fazem $latex x^2+x-20<0$ sempre ter valores menores que 0. Isso significa que precisamos da parte abaixo do eixo x.

Como a parábola abre (o termo quadrático é positivo), a parábola está abaixo do eixo x quando os valores de x são maiores que -5 e menores que 4, ou seja, $latex -5<x<4$ .

Simplificando a inequação, obtemos o seguinte:

$latex x^2+4x+10>-4x-5$

$latex x^2+8x+15>0$

Agora, podemos formar a equação $latex x^2+8x+15=0$ e resolvê-la fatorando:

$latex x^2+8x+15=0$

$latex (x+5)(x+3)=0$

$latex x=-5~~$ ou $latex ~~x=-3$

Para resolver a inequação $latex x^2+8x+15>0$, temos que encontrar os valores de x que produzem sempre valores maiores que 0 (acima do eixo x)

Como a parábola se abre, a solução para a inequação é $latex x<-5~$ ou $latex ~x>-3$.

Aqui, temos um termo quadrático que é negativo. Podemos facilitar resolver a inequação multiplicando toda a inequação por -1 para tornar o termo quadrático positivo:

$latex x^2-6x+8\leq 0$

Nota: Tenha em mente que ao multiplicar ou dividir a inequação por um sinal negativo, temos que inverter o sinal da inequação.

Agora, formamos a equação $latex x^-6x+8=0$ e resolvemos fatorando para encontrar os valores de x:

$latex x^2-6x+8=0$

$latex (x-4)(x-2)=0$

$latex x=4~~$ ou $latex ~~x=2$

Para resolver a inequação $latex x^2-6x+8\leq 0$, temos que procurar os valores de x que produzem valores menores ou iguais a 0. Então, procuramos a porção da parábola abaixo do eixo x.

A solução é $latex 2\leq x\leq 4$.

Novamente, podemos multiplicar toda a inequação por -1 para facilitar a resolução:

$latex 2x^2-9x+10\geq 0$

Nota: O sinal de inequação foi alterado, pois multiplicamos por um sinal negativo.

Agora, resolvemos a equação $latex 2x^-9x+10=0$:

$latex 2x^2-9x+10=0$

$latex (2x-5)(x-2)=0$

$latex x=\frac{5}{2}~~$ ou $latex ~~x=2$

A inequação $latex 2x^2-9x+10\geq 0$ indica que precisamos dos valores de x que produzam valores maiores ou iguais a 0. Assim, procuramos a porção da parábola acima do x -eixo.

A solução é $latex x\leq 2~~$ ou $latex ~~x\geq \frac{5}{2}$.

Vamos multiplicar toda a inequação por $latex (x-3)^2$ para eliminar a fração e garantir que a inequação seja positiva

$latex 2(x-3)\leq 1(x-3)^2$

$latex 2x-6\leq x^2-6x+9$

$latex 0\leq x^2-8x+15$

$latex x^2-8x+15\geq 0$

Resolvemos a equação $latex x^2-8x+15=0$ fatorando:

$latex x^2-8x+15=0$

$latex (x-5)(x-3)=0$

$latex x=5~~$ ou $latex ~~x=3$

Agora, precisamos encontrar os valores de x que produzem valores maiores ou iguais a 0.

Como a parábola se abre, a solução é $latex x\leq 3~$ ou $latex ~x\geq 5$.

Podemos multiplicar toda a inequação por $latex (7x-1)^2$ para eliminar a fração e garantir que a inequação seja positiva

$latex (x+1)(7x-1)\leq \frac{2}{7}(7x-1)^2$

$latex 7x^2+6x-1\leq \frac{2}{7}(49x^2-14x+1)$

$latex 0\leq 7x^2-10x+\frac{9}{7}$

$latex 49x^2-70x+9\geq 0$

Agora, formamos a equação $latex 49x^2-70x+9=0$ e resolvemos fatorando:

$latex 49x^2-70x+9=0$

$latex (7x-1)(7x-9)=0$

$latex x=\frac{1}{7}~~$ ou $latex ~~x=\frac{9}{7}$

Para resolver a inequação $latex 49x^2-70x+9\geq 0$, precisamos encontrar os valores de x que produzem valores maiores ou iguais a 0.

Como a parábola se abre, a solução é $latex x\leq \frac{1}{7}~$ ou $latex ~x\geq \frac{9}{7}$.