Progressão Aritmética – Exercícios Resolvidos

Primeiro, temos que encontrar a diferença comum de cada par de números consecutivos:

• $latex 15-11=4$
• $latex 11-7=4$
• $latex 7-3=4$

Portanto, a diferença comum é 4. Para encontrar o próximo termo após 15, simplesmente temos que adicionar 4 a 15. Portanto, temos $latex 15+4=19$.

Começamos encontrando a diferença comum:

• $latex 13-18=-5$
• $latex 18-23=-5$
• $latex 23-28=-5$

Nesse caso, obtivemos uma diferença comum negativa. Para encontrar o próximo termo, só precisamos adicionar essa diferença ao último termo. Então nós temos $latex 13+(-5)=8$.

À primeira vista, podemos pensar que temos uma diferença comum negativa, já que temos números negativos, mas devemos lembrar que quando a progressão está crescendo, a diferença comum é positiva.:

• $latex -5-(-9)=4$
• $latex -9-(-13)=4$
• $latex -13-(-17)=4$

Vemos que a diferença comum é 4 positiva porque a progressão geométrica está crescendo. Podemos obter os dois termos a seguir adicionando a diferença comum ao último termo:

$latex -5+4=-1$

$latex -1+4=3$

Começamos por escrever a informação fornecida:

• Primeiro termo: $latex a_{1}=8$
• Diferença comum: $latex d=2$
• Posição do termo: $latex n=10$

Agora, podemos usar a fórmula para progressões aritméticas com a informação dada:

$latex a_{n}=a_{1}+(n-1)d$

$latex a_{10}=8+(10-1)2$

$latex a_{10}=8+(9)2$

$latex a_{10}=8+18$

$latex a_{10}=26$

Temos os seguintes valores:

• Primeiro termo: $latex a_{1}=12$
• Diferença comum: $latex d=-5$
• Posição do termo: $latex n=8$

Usando a fórmula para o termo n com os valores dados, temos:

$latex a_{n}=a_{1}+(n-1)d$

$latex a_{8}=12+(8-1)(-5)$

$latex a_{8}=12+(7)(-5)$

$latex a_{8}=12-35$

$latex a_{8}=-23$

Neste caso, temos que usar a fórmula de progressão aritmética $latex a_{n}=a_{1}+(n-1)d$. Para usar esta fórmula, temos que saber o primeiro termo, a diferença comum e a posição do termo que queremos encontrar:

• Primeiro termo: $latex a_{1}=3$
• Diferença comum: $latex d=3$
• Posição do termo: $latex n=26$

Agora, substituímos esses valores na fórmula e resolvemos:

$latex a_{n}=a_{1}+(n-1)d$

$latex a_{26}=3+(26-1)3$

$latex a_{26}=3+(25)3$

$latex a_{26}=3+75$

$latex a_{26}=78$

Temos que encontrar o primeiro termo, a diferença comum e a posição do termo para substituir na fórmula de sequência aritmética:

• Primeiro termo: $latex a_{1}=15$
• Diferença comum: $latex d=-7$
• Posição do termo: $latex n=22$

Substituímos esses valores na fórmula:

$latex a_{n}=a_{1}+(n-1)d$

$latex a_{22}=15+(22-1)(-7)$

$latex a_{22}=15+(21)(-7)$

$latex a_{22}=15-147$

$latex a_{22}=-132$

Neste caso, temos números fracionários, mas semelhante aos problemas anteriores, só temos que encontrar os diferentes valores para substituir na fórmula de progressão aritmética:

• Primeiro termo: $latex \frac{5}{2}$
• Diferença comum: $latex \frac{1}{2}$
• Posição do termo: $latex n=16$

Agora, usamos a fórmula com estes valores:

$latex a_{n}=a_{1}+(n-1)d$

$latex a_{16}=\frac{5}{2}+(16-1)\frac{1}{2}$

$latex a_{16}=\frac{5}{2}+(15)\frac{1}{2}$

$latex a_{16}=\frac{5}{2}+\frac{15}{2}$

$latex a_{16}=10$

Não conhecemos nem o valor do primeiro termo, nem o valor da diferença comum. No entanto, podemos encontrar o valor da diferença comum, considerando que é um valor constante.

Subtraímos então os valores dos termos e dividimos pela diferença das suas posições:

$$d=\frac{19-10}{6-3}=\frac{9}{3}=3$$

Agora, podemos utilizar a fórmula do termo n, considerando o termo 6 como o primeiro termo. Assim, o termo 10 é agora o termo 5 e o valor de n é 5:

• Primeiro termo: 19
• Diferença comum: 3
• Posição do termo: 5

Agora, utilizamos a fórmula com estes valores:

$latex a_{n}=a_{1}+(n-1)d$

$latex a_{4}=19+(5-1)3$

$latex a_{4}=19+(4)3$

$latex a_{4}=19+12$

$latex a_{4}=31$

Este termo é o 10º termo da progressão inicialmente dada.

À semelhança do exercício anterior, encontramos a diferença comum dividindo a diferença nos valores dos termos pela diferença nas suas posições:

$$d=\frac{-10-5}{7-4}=\frac{-15}{3}=-5$$

Agora, consideramos o termo 7 como termo 1, por isso agora o termo 14 é o termo 8:

• Primeiro termo: -10
• Diferença comum: -5
• Posição do termo: 6

Agora, utilizamos a fórmula com estes valores:

$latex a_{n}=a_{1}+(n-1)d$

$latex a_{6}=-10+(8-1)(-5)$

$latex a_{6}=-10+(7)(-5)$

$latex a_{6}=-10-35$

$latex a_{6}=-45$