Polinômios são expressões algébricas que contêm variáveis e coeficientes junto com operações matemáticas, como adição, subtração e multiplicação. Podemos realizar operações matemáticas semelhantes à forma como realizamos operações com expressões algébricas.
A seguir, veremos um resumo dos polinômios e suas operações matemáticas. Em seguida, veremos vários exercícios polinomiais resolvidos para aprender como realizar essas operações com polinômios.
Resumo de polinômios
Polinômios são expressões algébricas que consistem em variáveis, constantes e expoentes que são combinados usando operações matemáticas como adição, subtração e multiplicação. Com base no número de termos da expressão, os polinômios podem ser classificados como monomiais, binomiais, trinomiais e outros.
A seguir estão exemplos de variáveis, constantes e expoentes:
- Constantes: 1, 2, 3, etc.
- Variáveis: a, b, x, y, etc.
- Expoentes: o 2 em $latex {{x}^2}$.
Uma função polinomial é geralmente representada por $latex P(x)$, onde x é a variável.
Podemos realizar várias operações matemáticas com polinômios. Vamos ver um resumo de adição, subtração e multiplicação de polinômios.
Adição de polinômios
Para adicionar polinômios, simplesmente temos que combinar termos semelhantes. Lembre-se de que termos semelhantes são termos que possuem as mesmas variáveis elevadas às mesmas potências.
A adição de polinômios sempre resulta em um polinômio do mesmo grau.
Subtração polinomial
A subtração polinomial é semelhante à adição, com a diferença de que temos uma mudança de sinais. Portanto, subtraímos os termos semelhantes para obter a solução.
A subtração polinomial também resulta em um polinômio do mesmo grau.
Multiplicação de polinômios
Para multiplicar polinômios, temos que usar a propriedade distributiva para multiplicar todos os termos. A propriedade distributiva é:
Quando multiplicamos para dois ou mais polinômios, sempre obtemos um polinômio com um grau maior, a menos que um dos polinômios seja uma constante.
Exercícios de polinômios resolvidos
Os exercícios a seguir detalham o processo usado para realizar operações matemáticas com polinômios. Tente resolver os exercícios sozinho antes de ver a resposta.
EXERCÍCIO 1
Encontre a soma dos polinômios: $latex (4{{x}^2}+5)+(3{{x}^2}+4)$.
Solução
Para adicionar os polinômios, temos que combinar termos semelhantes. Portanto, combinamos os termos com $latex {{x}^2}$ e os termos constantes separadamente:
$latex (4{{x}^2}+5)+(3{{x}^2}+4)$
$latex =7{{x}^2}+9$
EXERCÍCIO 2
Encontre a diferença dos polinômios: $latex (2{{x}^3}+4{{x}^2}+4)-(3{{x}^3}+2{{x}^2}+2)$.
Solução
Nesse caso, temos que subtrair os termos semelhantes. Comparamos todos os termos que são semelhantes:
$latex (2{{x}^3}+4{{x}^2}+4)-(3{{x}^3}+2{{x}^2}+2)$
$latex =2{{x}^3}-3{{x}^3}+4{{x}^2}-2{{x}^2}+4-2$
$latex =-{{x}^3}+2{{x}^2}+2$
EXERCÍCIO 3
Faça a soma dos polinômios: $latex (3{{x}^5}+8{{x}^4}-4{{x}^3}+2{{x}^2}-5x+2)$ $latex +(4{{x}^5}-4{{x}^4}-2{{x}^3}+5{{x}^2}+3x+10)$.
Solução
Neste caso, temos vários termos com diferentes variáveis e diferentes sinais. No entanto, temos que aplicar a mesma ideia. Identificamos termos semelhantes e os combinamos:
$latex (3{{x}^5}+8{{x}^4}-4{{x}^3}+2{{x}^2}-5x+2)$ $latex +(4{{x}^5}-4{{x}^4}-2{{x}^3}+5{{x}^2}+3x+10)$
$latex =7{{x}^5}+4{{x}^4}-6{{x}^3}+7{{x}^2}-2x+12$
EXERCÍCIO 4
Execute a subtração polinomial: $latex (2{{x}^5}y+4{{x}^4}-3{{x}^3}+5{{x}^2}y-5x+2)$ $latex -(6{{x}^5}-4{{x}^4}+2{{x}^3}+2{{x}^2}+3x-5)$.
Solução
Este polinômio possui termos com as variáveis y, que não possuem termos semelhantes. Portanto, temos que combinar apenas os termos semelhantes e apenas copiar os termos que não possuem termos semelhantes:
$$(2{{x}^5}y+4{{x}^4}-3{{x}^3}+5{{x}^2}y-5x+2) -(6{{x}^5}-4{{x}^4}+2{{x}^3}+2{{x}^2}+3x-5)$$
$$=2{{x}^5}y-6{{x}^5}+(4+4){{x}^4}+(-3-2){{x}^3} +5{{x}^2}y-2{{x}^2}+(-5-3)x+2+5$$
$$=2{{x}^5}y-6{{x}^5}+8{{x}^4}-5{{x}^3} +5{{x}^2}y-2{{x}^2}-8x+7$$
EXERCÍCIO 5
Faça a multiplicação de polinômios: $latex (4x+2)(3x-3)$.
Solução
Temos que usar a propriedade distributiva para distribuir e multiplicar todos os termos. Então, temos:
$latex (4x+2)(3x-3)$
$latex =4x(3x-3)+2(2x-3)$
$latex =12{{x}^2}-12x+4x-6$
Agora, só temos que combinar termos semelhantes para simplificar:
$latex =12{{x}^2}-12x+4x-6$
$latex =12{{x}^2}-8x-6$
EXERCÍCIO 6
Multiplique os polinômios: $latex (2{{x}^2}+5x)(4{{x}^2}-2x+3)$.
Solução
Novamente, usamos a propriedade distributiva para multiplicar todos os termos do polinômio. Em seguida, simplificamos o resultado combinando termos semelhantes:
$latex (2{{x}^2}+5x)(4{{x}^2}-2x+3)$
$$=2{{x}^2}(4{{x}^2}-2x+3)+5x(4{{x}^2}-2x+3)$$
$$=8{{x}^4}-4{{x}^3}+6{{x}^2}+20{{x}^3}-10{{x}^2}+15x$$
$latex =8{{x}^4}+16{{x}^3}-4{{x}^2}+15x$
EXERCÍCIO 7
Obtenha o resultado da multiplicação dos polinômios: $latex (5x^2-3x+2)(2{{x}^2}+4x-5)$.
Solução
Semelhante aos exercícios anteriores, temos que usar a propriedade distributiva para multiplicar todos os termos. Em seguida, simplificamos o resultado combinando termos semelhantes:
$latex (5x^2-3x+2)(2{{x}^2}+4x-5)$
$$=5x^2(2{{x}^2}+4x-5)-3x(2{{x}^2}+4x-5) +2(2{{x}^2}+4x-5)$$
$$=10{{x}^4}+20{{x}^3}-25{{x}^2}-6{{x}^3}-12{{x}^2} +15x+4{{x}^2}+8x-10$$
$latex =10{{x}^4}+14{{x}^3}-33{{x}^2}+23x-10$
Exercícios de polinômios para resolver
Coloque em prática seu conhecimento sobre polinômios e suas habilidades para resolver operações com polinômios com os exercícios a seguir. Se precisar de ajuda, você pode consultar os exercícios resolvidos acima.
Veja também
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Jefferson Huera Guzman
Jefferson é o principal autor e administrador do Neurochispas.com. O conteúdo interativo de Matemática e Física que criei ajudou muitos alunos.
