Exercícios de Domínio e Imagem Resolvidos e para Resolver

Domínio: A função $latex f(x)={{x}^2}+1$ é definida para todos os valores reais de x, uma vez que não há restrições para o valor de x. Portanto, o domínio de x é:

“Todos os valores reais de x“

Imagem: Uma vez que $latex {{x}^2}$ nunca é negativo, $latex {{x}^2}+1$ nunca é menor que 1. Então a imagem de $latex f(x)$ é:

“Todos os números reais $latex f(x) \geq 1$”

Podemos ver que x pode assumir qualquer valor no gráfico, mas os valores de $latex y=f(x)$ são maiores ou iguais a 1.

Domínio: A função $latex f(x)= \frac{1}{x+3}$ não está definida para $latex x = -3$, pois isso produziria uma divisão por zero (teríamos um 0 no denominador). Portanto, o domínio de $latex (x)$ é:

“Todos os números reais, exceto -3”

Imagem: Não importa quão grande ou pequeno seja x, os valores de $latex f(x)$ nunca serão iguais a zero. Se tentarmos resolver a equação para 0, temos:

$latex 0= \frac{1}{x+3}$

Multiplicando ambos os lados por $latex x + 3$, temos:

$latex 0= 1$

Isto é impossível. Então, a imagem de $latex f(x)$ é:

“Todos os números reais exceto zero”

No gráfico, podemos ver que a função não está definida para $latex x=-3$ e que a função leva todos os valores de y exceto zero.

Domínio: A função $latex f(t)=\sqrt{5-t}$ não é definida para números reais maiores que 5, pois isso resultaria em números negativos abaixo da raiz quadrada e números imaginários para $latex f(t)$, então o domínio de $latex f(t)$ é:

“Todos os números reais, $latex t\leq 5$”

Imagem: Por definição de raiz quadrada, temos:

$latex f(t)=\sqrt{5-t}\geq 0$

Então, a imagem de $latex f(t)$ é:

“Todos os números reais, $latex f(t)\geq 0$”

No gráfico, podemos ver que $latex t$ não assume valores maiores que 5 e que o intervalo é maior ou igual a 0:

Domínio: O único problema que temos com essa função é que devemos ter cuidado para não dividir por zero. Então, os valores de x não podem assumir os valores que produzem uma divisão por zero. Então, tornamos o denominador igual a zero e resolvemos:

$latex {{x}^2}-x-2=0$

$latex (x+1)(x-2)=0$

$latex x=-1$  ou  $latex x=2$

Portanto, o domínio é:

“Todos os números reais, exceto -1 e 2”

Imagem: A imagem é um pouco mais difícil de determinar, mas, neste caso, não temos restrições visíveis que tornem o intervalo maior ou menor que um valor específico. Verificamos isso com o gráfico da função :

Vemos que a função assume todos os valores de y, então a imagem é:

“Todos os números reais”

Domínio: O único problema que temos com esta função é que não podemos ter valores negativos dentro do sinal da raiz quadrada. Então, podemos fazer a expressão dentro da raiz quadrada maior ou igual a zero e resolver:

$latex -2x+5\geq 0$

$latex -2x\geq -5$

$latex 2x\leq 5$

$latex x\leq \frac{5}{2}$

Portanto, o domínio é:

“Todos os números reais $latex x\leq \frac{5}{2}$”

Imagem: Sabemos que, por definição, o resultado de uma raiz quadrada deve ser maior ou igual a zero. No entanto, neste caso, temos um sinal negativo que precede a raiz quadrada, então a imagem é:

“Todos os números reais $latex g(x)\leq 0$”

Podemos olhar o gráfico para verificar isso:

Domínio: Este é um problema fácil. Não há denominadores, então não temos problemas de divisão por zero e não há radicais, então não temos problemas com números negativos em raízes quadradas. Quando temos um polinômio como neste caso, o domínio é:

“Todos os números reais”

Imagem: A imagem varia entre os polinômios. Nesse caso, sabemos que $latex {{x}^4}$ é sempre positivo, então quando precedido por um sinal negativo, sempre obtemos um número negativo ou igual a 0. Isso significa que o ponto mais alto é 2 e a imagem é:

Todos os números reais, $latex f(x)\leq 2$”

No gráfico, podemos ver isso: