Exercícios de Composição de Funções Resolvidos e para Resolver

Para encontrar a combinação $latex f(g(x))$, temos que usar as saídas da função $latex g(x)$ nas entradas de $latex f (x)$. Então, usamos $latex x+1$ como entradas da função f e temos:

$latex f(g(x))=2(x+1)+3$

$latex f(g(x))=2x+2+3$

$latex f(g(x))=2x+5$

A composição $latex f\circ g$ também pode ser escrita como $latex f(g(x))$. Então, temos que pegar a saída de $latex g(x)$ e usá-la como a entrada de $latex f(x)$. Começamos substituindo cada valor de x na função f pela função g:

$latex f(g(x))={{(x+1)}^2}+5$

Agora, podemos aplicar o expoente para expandir e simplificar a função:

$latex f(g(x))={{x}^2}+2x+1+5$

$latex f(g(x))={{x}^2}+2x+6$

Semelhante ao exercício anterior, sabemos que a composição $latex f \circ g$ pode ser escrita como $latex f(g(x))$. Portanto, substituímos cada x na função $latex f(x)$ pela função $latex g(x)$.

Em seguida, expandimos os parênteses com expoente e simplificamos a função composta:

$latex f\circ g=2{{(-x+2)}^2}+3(-x+2)-10$

$latex =2({{x}^2}-2x+4)-3x+6-10$

$latex =2{{x}^2}-4x+8-3x+6-10$

$latex f\circ g=2{{x}^2}-7x+4$

Neste caso, temos a composição $latex g \circ f$ que é igual a $latex g(f(x))$. Portanto, usamos as saídas de $latex f(x)$ como as entradas de $latex g(x)$:

$latex g\circ f=\frac{1}{2}(6{{x}^2}+8x-10)+5$

$latex =3{{x}^2}+4x-5+5$

$latex g\circ f=3{{x}^2}+4x$

Temos que pegar a função $latex g(x)$ e usá-la como entrada para $latex f(x)$. Nesse caso, a função $latex g(x)$ tem raiz quadrada. Vamos ver o que acontece quando você expande e simplifica:

$latex f(g(x))=2{{(\sqrt{-2x+4})}^2}+5$

$latex =2(-2x+4)+5$

$latex =-4x+8+5$

$latex =-4x+13$

Sabemos que esta composição equivale a ter $latex g(f(x))$. Portanto, usamos as saídas de $latex f(x)$ como as entradas de $latex g(x)$. Este caso é interessante porque temos uma raiz quadrada que vai dentro de outra raiz quadrada:

$latex g\circ f=\sqrt{16\sqrt{x+2}}$

$latex =4\sqrt{\sqrt{x+2}}$

Podemos escrever radicais como expressões exponenciais com expoentes fracionários e, em seguida, aplicar a regra de potência de uma potência para simplificar:

$latex 4\sqrt{\sqrt{x+2}}=4{{[{{(x+2)}^{\frac{1}{2}}}]}^{\frac{1}{2}}}$

$latex =4{{(x+2)}^{\frac{1}{4}}}$

Agora, reescrevemos a expressão exponencial como a quarta raiz:

$latex g\circ f=4\sqrt[4]{x+2}$

Nos exercícios anteriores, vimos apenas composições de duas funções diferentes. No entanto, também é possível ter composições com a mesma função. Só temos que substituir cada valor x pela própria função:

$$f\circ f=3{{(3{{x}^2}+2x-6)}^2}+2(3{{x}^2}+2x-6)-6$$

$$=3(9{{x}^4}+12{{x}^3}-32{{x}^2}-24x+36)+6{{x}^2}+4x-12-6$$

$$=27{{x}^4}+36{{x}^3}-96{{x}^2}-72x+108+6{{x}^2}+4x-12-6$$

$latex f\circ f=27{{x}^4}+36{{x}^3}-90{{x}^2}-68x+90$