Alongamento e compressão de funções

Alongamentos e compressões de uma função em relação ao eixo x e ao eixo y

Alongamentos e compressões são transformações que são produzidas quando os valores x ou y da função original são multiplicados por um valor constante.

Para entender os alongamentos e compressões em relação ao eixo x e ao eixo y, vamos usar a função $latex f(x)=x+1$. Fazendo o gráfico desta função, obtemos a seguinte reta:

Para produzir alongamentos e compressões, vamos multiplicar os valores x ou y da função $latex f(x)$ por uma constante. Assim, temos (i) $latex f(2x)$ e (ii) $latex 2f(x)$. Simplificando, temos:

(i) $latex f(2x)=(2x)+1~$ e (ii) $latex 2f(x)=2(x+1)$

(i) $latex f(2x)=2x+1~$ e (ii) $latex 2f(x)=2x+2$

Quando plotamos as funções (i) e (ii) junto com a função original $latex f(x)$, temos:

Na transformação (i), o gráfico de $latex f(x)$ foi esticado em torno do eixo x por um fator de $latex \frac{1}{2}$ (a função foi reduzida pela metade)

Na transformação (ii), o gráfico de $latex f(x)$ foi esticado em torno do eixo y por um fator de 2.

Exemplos de alongamento e compressão de funções

Os exemplos a seguir usam as transformações de alongamento e compressão de funções. Cada exemplo tem uma solução detalhada, mas tente resolver os exercícios primeiro.

Solução

O gráfico da função $latex f(x)=x+2$ é uma reta que intercepta o eixo y em (0, 2) e o eixo x em (-2, 0):

A função g é dada por $latex g(x)=3f(x)=3x+6$. O gráfico desta função é igual ao gráfico de f esticado por um fator de 3 em torno do eixo y.

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Solução

Quando aplicamos a transformação $latex g(x)=f(ax)$, onde a é uma constante, produzimos um alongamento ou compressão em torno do eixo x.

Então, podemos olhar para o gráfico da função cosseno padrão $latex f(x)=\cos(x)$ junto com as outras duas funções:

Vemos que o gráfico de $latex g(x)=\cos(2x)$ é dividido pela metade, ou seja, o fator de estiramento é $latex \frac{1}{a}=\frac{1}{2 }$.

No caso do gráfico de $latex h(x)=\cos(\frac{1}{2}x)$, a função é alongada. O fator de estiramento é $latex \frac{1}{a}=\frac{1}{\frac{1}{2}}=2$.

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Solução

Neste caso, temos a função de valor absoluto, que em sua forma base, $latex f(x)=|x|$, tem o seguinte gráfico:

Agora, as funções g e h são obtidas aplicando trechos em relação ao eixo y. Ou seja, temos $latex g(x)=2f(x)$ e $latex h(x)=0,5f(x)$.

Vemos que a função h é esticada por um fator de 2 e a função g por um fator de 0,5 (igual a uma compressão pela metade).

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Exercícios de alongamento e compressão de funções para resolver

Aplique tudo o que aprendeu sobre as funções de alongamento e compressão para resolver os exercícios a seguir.

Veja também

Interessado em aprender mais sobre transformações de funções? Veja estas páginas:

• Transformações dos gráficos de funções
• Translação vertical de uma função
• Translação horizontal de uma função
• Reflexão de funções sobre o eixo x e o eixo y