Equações de valor absoluto podem ser resolvidas elevando ambos os lados da equação ao quadrado. Desta forma, conseguiremos que a expressão com o sinal de valor absoluto seja positiva. Depois, podemos expandir as expressões e simplificar. Finalmente, a equação obtida pode ser resolvida com qualquer método aplicável.
A seguir, veremos 10 exercícios resolvidos de equações com valor absoluto. Além disso, você poderá testar suas habilidades com alguns exercícios práticos.
ÁLGEBRA
Relevante para…
Resolver alguns exercícios envolvendo equações de valor absoluto.
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Resolver alguns exercícios envolvendo equações de valor absoluto.
Como resolver equações com valor absoluto
A função de valor absoluto $latex f(x)=|x|$, também chamada de módulo de x, pode ser definida como a magnitude de x. Por exemplo:
$latex |-2|=2~~$ e $latex ~~|2|=2$
Para resolver equações com valor absoluto, podemos seguir os seguintes passos:
Passo 1: Eleve ao quadrado ambos os lados da equação.
Isso garantirá que a expressão que possui o valor absoluto seja positiva, pois a função de valor absoluto é a magnitude.
Passo 2: Alterar sinais de valor absoluto para parênteses.
Passo 3: Expanda e simplifique parênteses e expressões quadradas.
Passo 4: Resolva a equação quadrática obtida.
Nota: Se você precisar revisar como resolver equações quadráticas, visite nosso artigo: Resolver Equações Quadráticas – Métodos e exercícios.
10 Exercícios resolvidos de equações de valor absoluto
Cada um dos exercícios a seguir tem uma solução detalhada. No entanto, tente resolver os exercícios antes de olhar para a solução.
EXERCÍCIO 1
Resolva a equação $latex |x-2|=4$.
Solução
Para garantir que o lado esquerdo da equação seja positivo, podemos elevar ao quadrado ambos os lados da equação:
$latex |x-2|^2=4^2$
Agora, podemos substituir os sinais de valor absoluto por parênteses:
$latex (x-2)^2=4^2$
Expandindo os parênteses e simplificando, temos:
$latex (x-2)^2=4^2$
$latex x^2-4x+4=16$
$latex x^2-4x-12=0$
Podemos resolver a equação quadrática fatorando:
$latex x^2-4x-12=0$
$latex (x-6)(x+2)=0$
As soluções são $latex x=6$ e $latex x=-2$.
EXERCÍCIO 2
Encontre a solução para a equação $latex |x+4|=5$.
Solução
Vamos elevar ao quadrado os dois lados para garantir que o lado esquerdo seja positivo:
$latex |x+4|^2=5^2$
Usando parênteses em vez de sinais de valor absoluto, temos:
$latex (x+4)^2=5^2$
Agora, simplificamos expandindo os parênteses:
$latex (x+4)^2=5^2$
$latex x^2+8x+16=25$
$latex x^2+8x-9=0$
Resolvendo por fatoração, temos:
$latex x^2+8x-9=0$
$latex (x+9)(x-1)=0$
As soluções são $latex x=-9$ e $latex x=1$.
EXERCÍCIO 3
Resolva a equação $latex |3-x|=6$.
Solução
Elevando ambos os lados ao quadrado, temos:
$latex |3-x|^2=6^2$
$latex (3-x)^2=6^2$
Simplificando a equação, temos:
$latex (3-x)^2=6^2$
$latex 9-6x+x^2=36$
$latex x^2-6x-27=0$
Agora resolvemos a equação fatorando:
$latex x^2-6x-27=0$
$latex (x-9)(x+3)=0$
As soluções são $latex x=9$ e $latex x=-3$.
EXERCÍCIO 4
Encontre a solução para a equação $latex |2x+1|=5$.
Solução
Elevando ambos os lados da equação ao quadrado, temos:
$latex |2x+1|^2=5^2$
$latex (2x+1)^2=5^2$
Expandindo os parênteses e simplificando a equação, temos:
$latex (2x+1)^2=5^2$
$latex 4x^2+4x+1=25$
$latex 4x^2+4x-24=0$
Resolvendo por fatoração, temos:
$latex 4(x^2+x-6)=0$
$latex 4(x+3)(x-2)=0$
As soluções são $latex x=-3$ e $latex x=2$.
EXERCÍCIO 5
Qual é a solução da equação $latex |3x+2|=8$?
Solução
Quando elevamos os dois lados da equação ao quadrado, temos:
$latex |3x+2|^2=8^2$
$latex (3x+2)^2=8^2$
Expandindo os parênteses e simplificando, temos:
$latex (3x+2)^2=8^2$
$latex 9x^2+12x+4=64$
$latex 9x^2+12x-60=0$
Fatorando e resolvendo, temos:
$latex 9x^2+12x-60=0$
$latex (3x+10)(3x-6)=0$
As soluções são $latex x=-\frac{10}{3}$ e $latex x=2$.
EXERCÍCIO 6
Encontre a solução para a equação $latex |5x-3|=7$.
Solução
Quando elevamos os dois lados ao quadrado, temos:
$latex |5x-3|^2=7^2$
$latex (5x-3)^2=7^2$
Expandindo o parêntese esquerdo e simplificando, temos:
$latex (5x-3)^2=7^2$
$latex 25x^2-30x+9=49$
$latex 25x^2-30x-40=0$
Fatorando e resolvendo, temos:
$latex 25x^2-30x-40=0$
$latex (5x-10)(5x+4)=0$
As soluções são $latex x=2$ e $latex x=-\frac{4}{5}$.
EXERCÍCIO 7
Encontre a solução para a equação $latex |x+1|=|x-3|$.
Solução
Elevando ambos os lados da equação ao quadrado, temos:
$latex |x+1|^2=|x-3|^2$
$latex (x+1)^2=(x-3)^2$
Expandindo ambos os parênteses e simplificando combinando termos semelhantes, temos:
$latex (x+1)^2=(x-3)^2$
$latex x^2+2x+1=x^2-6x+9$
$latex 8x=8$
Neste caso, temos uma equação linear que pode ser facilmente resolvida:
$latex 8x=8$
$latex x=1$
A única solução é $latex x=1$.
EXERCÍCIO 8
Encontre a solução para a equação $latex |x-4|=|6-x|$.
Solução
Começamos elevando os dois lados da equação ao quadrado:
$latex |x-4|^2=|6-x|^2$
$latex (x-4)^2=(6-x)^2$
Expandimos os dois parênteses e simplificamos a equação:
$latex (x-4)^2=(6-x)^2$
$latex x^2-8x+16=36-12x+x^2$
$latex 4x=20$
Podemos resolver facilmente a equação linear:
$latex 4x=20$
$latex x=5$
A única solução é $latex x=5$.
EXERCÍCIO 9
Resolva a equação $latex |2x-1|=|x|$.
Solução
Elevando ambos os lados ao quadrado, temos:
$latex |2x-1|^2=|x|^2$
$latex (2x-1)^2=(x)^2$
Expandimos os parênteses e simplificamos da seguinte forma:
$latex (2x-1)^2=x^2$
$latex 4x^2-4x+1=x^2$
$latex 3x^2-4x+1=0$
Resolvendo por fatoração, temos:
$latex 3x^2-4x+1=0$
$latex (3x-1)(x-1)=0$
As soluções são $latex x=\frac{1}{3}$ e $latex x=1$.
EXERCÍCIO 10
Resolva a equação $latex |2x-1|=|4x+3|$.
Solução
Elevando ambos os lados da equação ao quadrado, temos:
$latex |2x-1|^2=|4x+3|^2$
$latex (2x-1)^2=(4x+3)^2$
Expandindo os parênteses e simplificando, temos:
$latex (2x-1)^2=(4x+3)^2$
$latex 4x^2-4x+1=16x^2+24x+9$
$latex 12x^2+28x+8=0$
Resolvendo por fatoração, temos:
$latex 4(3x^2+7x+2)=0$
$latex (3x+1)(x+2)=0$
As soluções são $latex x=-\frac{1}{3}$ e $latex x=-2$.
5 Exercícios de equações de valor absoluto para resolver
Teste seu conhecimento de equações de valor absoluto para resolver os exercícios a seguir. Você pode usar os exercícios resolvidos acima como um guia.
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Jefferson Huera Guzman
Jefferson é o principal autor e administrador do Neurochispas.com. O conteúdo interativo de Matemática e Física que criei ajudou muitos alunos.
