O teorema do resto nos diz que quando um polinômio f(x) é dividido por (αx-β), o resto é igual a f(β/α). Isso significa que para encontrar o resto da divisão, temos que avaliar a função usando o valor β/α, ou seja, o valor x do fator (o divisor).
A seguir, veremos 10 exercícios resolvidos do teorema dos resíduos. Além disso, você poderá testar suas habilidades com alguns exercícios práticos.
10 Exercícios resolvidos do teorema do resto
Os exercícios a seguir são resolvidos aplicando o teorema do resto. Cada exercício tem sua respectiva solução, mas tente resolver você mesmo os exercícios antes de olhar para a resposta.
EXERCÍCIO 1
Qual é o resto quando o polinômio $latex x^3+4x^2+7x+6$ é dividido por $latex x+2$?
Solución
Para encontrar o resto, podemos usar o teorema do resto. Este teorema nos diz que o resto da divisão é $latex f\left(\frac{\beta}{\alpha}\right)$.
Neste caso, temos $latex f\left(\frac{\beta}{\alpha}\right)=f(-2)$. Então temos:
$$f(-2)=(-2)^3+4(-2)^2+7(-2)+6$$
$latex =-8+16-14+6$
$latex =0$
Vemos que o resto é igual a 0. Isso significa que a divisão é exata.
EJERCICIO 2
Se agora dividirmos o polinômio $latex x^3+4x^2+7x+6$ por $latex x-4$, qual é o resto?
Solución
Usando o teorema do resto sabemos que o resto quando $latex f(x)$ é dividido por $latex x-4$ é $latex f(4)$. Então temos:
$$f(4)=(4)^3+4(4)^2+7(4)+6$$
$latex =64+64+28+6$
$latex =162$
O resto da divisão é 162.
EJERCICIO 3
Encontre o resto quando $latex x^3+4x^2-5x+10$ é dividido por $latex x+5$.
Solución
Para resolver isso, podemos usar o teorema do resto, que nos diz que quando $latex f(x)$ é dividido por $latex x+5$ é $latex f(5)$. Então temos:
$$f(-5)=(-5)^3+4(-5)^2-5(-5)+10$$
$latex =-125+100+25+10$
$latex =10$
O resto da divisão é 10.
EJERCICIO 4
Encontre o resto quando $latex x^3-5x^2+4x+2$ é dividido por $latex (2x+1)$
Solución
O teorema do resto nos diz que o resto quando $latex f(x)$ é dividido por $latex 2x+1$ é $latex f\left(-\frac{1}{2}\right)$. Então temos:
$$f\left(-\frac{1}{2}\right)=\left(-\frac{1}{2}\right)^3-5\left(-\frac{1}{2}\right)^2+4\left(-\frac{1}{2}\right)+2$$
$latex =-\frac{1}{8}-\frac{5}{4}-2+2$
$latex =-\frac{11}{8}$
O restante da divisão é $latex -\frac{11}{8}$.
EJERCICIO 5
Qual é o resto quando $latex 2x^3-2x^2+3x-10$ é dividido por $latex (2x-3)$?
Solución
Usando o teorema do resto, sabemos que quando $latex f(x)$ é dividido por $latex 2x-3$ o resto é $latex f\left(\frac{3}{2}\right)$. Então temos:
$$f\left(\frac{3}{2}\right)=\left(\frac{3}{2}\right)^3-2\left(\frac{3}{2}\right)^2+3\left(\frac{3}{2}\right)-10$$
$latex =\frac{27}{8}-\frac{9}{2}+\frac{9}{2}-10$
$latex =-\frac{73}{8}$
O restante da divisão é $latex -\frac{73}{8}$.
EJERCICIO 6
Determine o resto quando o polinômio $latex 5x^3-3x^2+4x-10$ é dividido por x.
Solución
Neste caso, temos apenas x. Comparando com $latex (\alpha x-\beta)$, vemos que $latex \beta$ é igual a 0. Então, usamos $latex f\left(\frac{\beta}{\alpha}\right)=f(0)$ para encontrar o resto:
$$f(0)=5(0)^3-3(0)^2+4(0)-10$$
$latex =0-0+0-10$
$latex =-10$
O resto da divisão é -10.
EJERCICIO 7
Quando dividimos o polinômio $latex 3x^3+bx^2-7x+5$ por $latex x+3$, obtemos um resto de 17. Qual é o valor de b?
Solución
Podemos resolver isso usando o teorema do resto. Usando o teorema do resto, sabemos que $latex f(-3)=17$. Então, formamos uma equação e resolvemos para b:
$$3(-3)^3+b(-3)^2-7(-3)+5=17$$
$latex -81+9b+21+5=17$
$latex 9b=72$
$latex b=8$
O valor de b é 8.
EJERCICIO 8
O polinômio $latex 2x^3+3x^2-cx-2$ nos dá um resto de 10 quando dividido por $latex x-2$. Encontre o valor de c.
Solución
Usando o teorema do resto, sabemos que $latex f(2)=10$. Então, formamos uma equação e resolvemos para c:
$$2(2)^3+3(2)^2-c(2)-2=10$$
$latex 16+12-2c-2=10$
$latex 2c=16$
$latex c=8$
O valor de c é 8.
EJERCICIO 9
O resto quando $latex cx^3+2x^2-5x+7$ é dividido por $latex x-2$ é igual ao resto quando a mesma expressão é dividida por $latex x+1$. Encontre o valor de c.
Solución
Usando o teorema do resto, sabemos que $latex f(2)=r$, onde r é o resto. Além disso, como o resto é o mesmo quando dividimos por $latex x+1$, também temos $latex f(-1)=r$.
Então, podemos formar uma equação com $latex f(2)=f(-1)$ e então resolver para c:
$$c(2)^3+2(2)^2-5(2)+7=c(-1)^3+2(-1)^2-5(-1)+7$$
$$8c+8-10+7=-c+2+5+7$$
$latex 9c=9$
$latex c=1$
O valor de c é igual a 1.
EJERCICIO 10
Quando dividimos o polinômio $latex f(x)=x^3+ax^2+bx+2$ por $latex x-1$, o resto é 4 e quando dividimos por $latex x+2$, o resto também é 4. Encontre os valores de a e b.
Solución
Usando o teorema do resto, sabemos que $latex f(1)=4$. Então temos:
$$(1)^3+a(1)^2+b(1)+2=4$$
$latex 1+a+b+2=4$
$latex a+b=1$
Agora, usamos o teorema do resto com $latex f(-2)=4$ e temos:
$$(-2)^3+a(-2)^2+b(-2)+2=4$$
$latex -8+4a-2b+2=4$
$latex 4a-2b=10$
Podemos dividir a última equação que obtivemos por 2 para simplificá-la:
$latex 2a-b=5$
Finalmente, podemos resolver formando um sistema de equações com as duas equações encontradas. Resolvendo, obtemos $latex a=2$ e $latex b=-1$.
5 Exercícios de teorema do resto para resolver
Aplique tudo o que aprendeu sobre o teorema do resto para resolver os exercícios a seguir.
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Jefferson Huera Guzman
Jefferson é o principal autor e administrador do Neurochispas.com. O conteúdo interativo de Matemática e Física que criei ajudou muitos alunos.
