Um arco da circunferência ou de círculo é uma parte da circunferência. O comprimento de um arco é simplesmente o comprimento desta parte da circunferência. A própria circunferência pode ser considerada um arco que circunda o círculo.
A seguir, conheceremos as diferentes fórmulas e métodos que podemos usar para encontrar o comprimento do arco usando graus e radianos. Em seguida, veremos alguns exercícios onde aplicaremos esses métodos.
PRÉ-CÁLCULO
Relevante para…
Aprender sobre o arco de uma circunferência com exercícios.
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Aprender sobre o arco de uma circunferência com exercícios.
Como encontrar o comprimento do arco?
O comprimento do arco é igual ao comprimento de uma parte da circunferência. Além disso, também devemos considerar a medida do arco, que é igual ao ângulo central que cruza o arco. Podemos observar a medida do arco e o comprimento do arco no diagrama a seguir:
Agora, vamos considerar as seguintes proporções:
$$\frac{\text{medida arco}}{360^{\circ} }=\frac{\text{comprimento arco}}{\text{circunferência}}$$
Podemos resolver isso para o comprimento do arco e substituir “medida do arco” por “ângulo central”, uma vez que são equivalentes. Então, temos:
$latex \text{comprimento arco}=\frac{\text{ângulo central}}{360^{\circ}}\times \text{circunferência}$
Podemos ver que o comprimento do arco é uma parte fracionária da circunferência. Por exemplo, a medida do arco de 60° é igual a um sexto de 360°, o que significa que o comprimento do arco também será igual a um sexto do comprimento da circunferência.
Medidas em radianos
A medida em radianos, θ, de um ângulo central é definida como a proporção do comprimento do arco, s , dividido pelo raio do círculo, r:
$latex \theta=\frac{s}{r}=\frac{\text{comprimento arco}}{\text{comprimento raio}}$
Usando isso, podemos calcular o comprimento do arco da seguinte forma:
$latex s=\theta r$
Exercícios de arcos de circunferências resolvidos
As fórmulas e métodos listados acima são usados para encontrar os comprimentos dos arcos nos exercícios a seguir. Tente resolver os exercícios sozinho antes de ver a resposta.
EXERCÍCIO 1
Qual é o comprimento de um arco que tem um ângulo central de 60° se a circunferência é de 12 m?
Solução
O valor do ângulo central é de 60° e o comprimento da circunferência é de 12 m. Portanto, substituímos esses valores na fórmula do comprimento do arco:
$$\text{comprimento arco}=\frac{\text{ângulo central}}{360^{\circ}}\times \text{circunferência}$$
$latex =\frac{60^{\circ}}{360^{\circ}}\times 12$
$latex =\frac{1}{6}\times 12$
$latex =2$
O comprimento do arco é igual a 2 m.
EXERCÍCIO 2
Se um arco tem um ângulo central de 40° e a circunferência tem um comprimento de 27 m, qual é o comprimento do arco?
Solução
O ângulo central é de 40° e a circunferência é de 27 m. Usando esses valores na fórmula do comprimento do arco, temos:
$$\text{comprimento arco}=\frac{\text{ângulo central}}{360^{\circ}}\times \text{circunferência}$$
$latex =\frac{40^{\circ}}{360^{\circ}}\times 27$
$latex =\frac{1}{9}\times 27$
$latex =3$
O comprimento do arco é igual a 3 m.
EXERCÍCIO 3
Qual é o comprimento de um arco que tem um ângulo central de 120° e é formado por um raio de 6 m?
Solução
Nesse caso, temos o valor do raio em vez da circunferência. Portanto, temos que calcular o comprimento da circunferência usando o raio $latex r = 6$. Portanto, temos:
$$\text{comprimento arco}=\frac{\text{ângulo central}}{360^{\circ}}\times \text{circunferência}$$
$latex =\frac{120^{\circ}}{360^{\circ}}\times (2\pi (6))$
$latex =\frac{1}{3}\times 37,7$
$latex =12,57$
O comprimento do arco é igual a 12,57 m.
EXERCÍCIO 4
Qual é o comprimento do arco com raio de 3 m e medida de 1,5 radianos?
Solução
Neste caso, temos o comprimento do raio $latex r = 3$ e a medida do arco em radianos $latex \theta = 1,5$. Portanto, temos que usar a segunda fórmula com estes valores:
$latex s=\theta r$
$latex =(1,5)(3)$
$latex =4,5$
O comprimento do arco é de 4,5 m.
EXERCÍCIO 5
Se um arco tem uma medida de 2,1 radianos e é formado por um raio de 5 m, qual é o seu comprimento?
Solução
Temos o raio $latex r = 5$ e a medida do arco $latex \theta = 2,1$. Usando a segunda fórmula com esses valores, temos:
$latex s=\theta r$
$latex =(2,1)(5)$
$latex =10,5$
O comprimento do arco é de 10,5 m.
Exercícios de arcos de circunferências para resolver
Pratique o uso das fórmulas e métodos acima para encontrar comprimentos de arco e resolver os exercícios a seguir. Veja os exercícios resolvidos acima se precisar de ajuda.
Veja também
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Jefferson Huera Guzman
Jefferson é o principal autor e administrador do Neurochispas.com. O conteúdo interativo de Matemática e Física que criei ajudou muitos alunos.
