Ponto médio de um segmento – Fórmula e exercícios

Temos as seguintes coordenadas

• $latex (x_{1}, y_{1})=(2, 5)$
• $latex (x_{2}, y_{2})=(6, 9)$

Agora, usamos a fórmula do ponto médio com as coordenadas fornecidas

$$M=\left(\frac{x_{1}+x{2}}{2},\frac{y_{1}+y{2}}{2}\right)$$

$$=\left(\frac{2+6}{2},\frac{5+9}{2}\right)$$

$$=\left(\frac{8}{2},\frac{14}{2}\right)$$

$latex =\left(1, 7\right)$

O ponto médio é $latex M=(4, 7)$.

Temos as seguintes coordenadas:

• $latex (x_{1}, y_{1})=(2, 6)$
• $latex (x_{2}, y_{2})=(8, 12)$

Usamos as coordenadas dadas na fórmula do ponto médio:

$$M=\left(\frac{x_{1}+x{2}}{2},\frac{y_{1}+y{2}}{2}\right)$$

$$=\left(\frac{2+8}{2},\frac{6+12}{2}\right)$$

$$=\left(\frac{10}{2},\frac{18}{2}\right)$$

$latex =(5, ~9)$

As coordenadas do ponto médio são $latex M=(5, ~9)$.

Podemos escrever da seguinte forma:

• $latex (x_{1}, y_{1})=(4, 7)$
• $latex (x_{2}, y_{2})=(9, 10)$

Aplicando a fórmula do ponto médio com as coordenadas dadas, temos:

$$M=\left(\frac{x_{1}+x{2}}{2},\frac{y_{1}+y{2}}{2}\right)$$

$$=\left(\frac{4+9}{2},\frac{7+10}{2}\right)$$

$$=\left(\frac{13}{2},\frac{17}{2}\right)$$

O ponto médio é $latex M=\left(\frac{13}{2},\frac{17}{2}\right)$.

Temos os seguintes pontos:

• $latex (x_{1}, y_{1})=(5, 7)$
• $latex (x_{2}, y_{2})=(9, 13)$

Aplicamos a fórmula do ponto médio com estes pontos:

$$M=\left(\frac{x_{1}+x{2}}{2},\frac{y_{1}+y{2}}{2}\right)$$

$$=\left(\frac{5+9}{2},\frac{7+13}{2}\right)$$

$$=\left(\frac{14}{2},\frac{20}{2}\right)$$

$latex =(7,~10)$

As coordenadas do ponto médio são $latex M=(7, ~10)$.

Temos os seguintes valores:

• $latex (x_{1}, y_{1})=(-4, -2)$
• $latex (x_{2}, y_{2})=(6, 5)$

Neste caso, temos coordenadas negativas, porém, simplesmente aplicamos a fórmula do ponto médio como nos exercícios anteriores:

$$M=\left(\frac{x_{1}+x{2}}{2},\frac{y_{1}+y{2}}{2}\right)$$

$$=\left(\frac{-4+6}{2},\frac{-2+5}{2}\right)$$

$$=\left(\frac{2}{2},\frac{3}{2}\right)$$

$$=\left(1,\frac{3}{2}\right)$$

O ponto médio tem as coordenadas $latex M=\left(1,\frac{3}{2}\right)$.

Escrevemos as coordenadas da seguinte forma:

• $latex (x_{1}, y_{1})=(-5, -6)$
• $latex (x_{2}, y_{2})=(6, -2)$

Neste caso, temos coordenadas negativas, mas simplesmente usamos a fórmula do ponto médio como nos exercícios anteriores:

$$M=\left(\frac{x_{1}+x{2}}{2},\frac{y_{1}+y{2}}{2}\right)$$

$$=\left(\frac{-5+6}{2},\frac{-6-2}{2}\right)$$

$$=\left(\frac{1}{2},\frac{-8}{2}\right)$$

$$=\left(\frac{1}{2}, -4\right)$$

O ponto médio tem as coordenadas $latex M=\left(\frac{1}{2},~ -4\right)$.

O centro do círculo divide o diâmetro em duas partes iguais. Isso significa que, para encontrar o centro, temos que encontrar as coordenadas do ponto médio do diâmetro. Então, começamos com as coordenadas:

• $latex (x_{1}, y_{1})=(-4,2)$
• $latex (x_{2}, y_{2})=(2,8)$

Agora, aplicamos a fórmula do ponto médio com estas coordenadas:

$$M=\left(\frac{x_{1}+x{2}}{2},\frac{y_{1}+y{2}}{2}\right)$$

$$=\left(\frac{-4+2}{2},\frac{2+8}{2}\right)$$

$$=\left(\frac{-2}{2},\frac{10}{2}\right)$$

$latex =(-1,5)$

As coordenadas do centro do círculo são $latex (-1, 5)$.

Escrevemos as coordenadas dadas:

• $latex (x_{1}, y_{1})=(p, 4)$
• $latex (x_{2}, y_{2})=(8, 10)$

Agora, podemos aplicar a fórmula do ponto médio com os valores conhecidos:

$$M=\left(\frac{x_{1}+x{2}}{2},\frac{y_{1}+y{2}}{2}\right)$$

$$=\left(\frac{p+8}{2},\frac{4+10}{2}\right)$$

Neste caso, precisamos encontrar o valor de p que faz parte das coordenadas x do ponto médio. Então, consideramos a componente x, formamos uma equação e resolvemos p. Sabemos que a coordenada x do ponto médio é 3, então temos

$$3=\left(\frac{p+8}{2}\right)$$

$latex 6=p+8$

$latex p=-2$

O valor de p é -2.

Temos as seguintes coordenadas:

• $latex (x_{1}, y_{1})=(-6, x)$
• $latex (x_{2}, y_{2})=(2, -4)$

Quando aplicamos a fórmula do ponto médio, temos:

$$M=\left(\frac{x_{1}+x{2}}{2},\frac{y_{1}+y{2}}{2}\right)$$

$$=\left(\frac{-6+2}{2},\frac{q+4}{2}\right)$$

Para encontrar o valor de q, formamos uma equação com a coordenada y do ponto médio:

$$\left(\frac{q+4}{2}\right)=1$$

$latex q+4=2$

$latex q=-2$

O valor de q é -2.

Começamos com as seguintes coordenadas:

• $latex (x_{1}, y_{1})=(3, -1)$
• $latex (x_{2}, y_{2})=(m, -7)$

Aplicando a fórmula do ponto médio, temos:

$$M=\left(\frac{x_{1}+x{2}}{2},\frac{y_{1}+y{2}}{2}\right)$$

$$=\left(\frac{3+m}{2},\frac{-1-7}{2}\right)$$

À semelhança dos exercícios anteriores, só temos de considerar as coordenadas-x do ponto médio e formar uma equação:

$$\left(\frac{3+m}{2}\right)=-3$$

$latex 3+m=-6$

$latex m=-9$

O valor de m é -9.