Polígonos em estrela – diagramas e exemplos

Processo de estrelação

A estrelação é o processo de construção de poliedros estendendo os lados dos polígonos até que eles se cruzem. Se os lados nunca se cruzam em um ponto fora do polígono, o polígono não pode ser estelar.

Por exemplo, a estrela de um hexágono regular é mostrada na imagem abaixo.

Agora, vamos pensar em qual dos seguintes polígonos não pode ser estrelado:

• Quadrado
• Pentágono regular
• Octógono regular
• Decágono regular

A resposta é um quadrado. Ao estender os lados de um quadrado, formamos linhas paralelas que nunca se cruzam em um ponto.

Estelações de ordem n

Uma estrelação de primeira ordem de um polígono estende os lados até que as linhas se cruzem primeiro fora do polígono. Uma estrela de ordem n estende os lados de um polígono até que as linhas se cruzem n vezes em cada direção.

Por exemplo, o diagrama a seguir mostra uma estrelação de segunda ordem, já que as linhas que saem do polígono se cruzam duas vezes.

Podemos determinar a medida do ângulo x usando o seguinte diagrama:

Como o octógono é regular, os ângulos internos do octógono medem 135°. Então, no diagrama temos que a=135°. Como a e b são um par linear, b=180°-135°=45°. Isso implica que cada triângulo na estrela é um triângulo retângulo isósceles, com ângulos retos.

Os ângulos de um quadrilátero somam 360°, então y=360°-90°-90°-135°=45°.

Finalmente, como y e x são um par linear, temos x=180°-45°=135°.

Agora, vamos ver outras maneiras de formar polígonos de estrelas. Se começarmos com um quadrado e depois colocarmos um quadrado congruente girado em 45°, geraremos um octógono estelar de primeira ordem.

Se começarmos com um triângulo equilátero e colocarmos várias cópias giradas em 30°, formaremos um dodecágono (12 lados). Se girarmos 30°, após 120° de rotação, o triângulo estará sobrepondo-se ao triângulo original. Isso significa que existem (120°)/(30°)=4 triângulos equiláteros, que formam um polígono com 3×4=12 lados.

A figura é um polígono estelar de terceira ordem, pois as pontas dos triângulos estão na terceira interseção.

Exemplos de polígono estrela

EXEMPLO 1

A imagem abaixo é um polígono regular com área A, e esse mesmo hexágono é estrelado para formar uma estrela. Qual é a área da estrela?

Solução: Um hexágono regular pode ser dividido em triângulos equiláteros. Todos os ângulos serão de 60°.

As estrelas também são triângulos equiláteros. Como cada ângulo do hexágono regular original é $latex \frac{((6-2)180^{\circ})}{6}=120$°, os ângulos dos triângulos externos devem ser 180°-120°= 60°.

Como os triângulos são iguais, a área do pentágono original e a soma das áreas dos triângulos externos são iguais. Portanto, a área total é 2A.

EXEMPLO 2

Que fração da área total do pentágono estrelado a região verde representa?

Solução: Cada parte da figura na região verde tem uma parte congruente na região branca. Essas peças estão marcadas na figura.

Por causa disso, a área da região verde é exatamente metade da área de toda a figura.

EXEMPLO 3

Um octógono regular com perímetro de 8 unidades é estrelado para formar uma estrela como mostra a imagem abaixo. Qual é o perímetro da estrela?

Solução: 8√2

Como o octógono é regular, cada um dos triângulos externos é um triângulo retângulo isósceles com hipotenusa de 8/8 = 1.

Os lados da estrela são congruentes. Podemos usar x para representar o comprimento de seus lados e usando o teorema de Pitágoras, temos:

$latex {{x}^2}+{{x}^2}={{1}^2}$

$latex {{2x}^2}=1$

$latex {{x}^2}=\frac{1}{2}$

$latex x=\frac{1}{\sqrt{2}}=\frac{\sqrt{2}}{2}$

Como a estrela tem 16 lados, isso significa que o perímetro é $latex 16\times \frac{\sqrt{2}}{2}=8\sqrt{2}$.

Veja também

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• Paradoxo do Quadrado Perdido – Diagrama e Solução
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