A área de uma pirâmide representa a soma das áreas de todas as faces da pirâmide. Por outro lado, o volume é uma medida do espaço tridimensional ocupado pela pirâmide. Podemos calcular a área de uma pirâmide somando a área de sua base e as áreas de suas faces laterais, e podemos calcular seu volume multiplicando a área de sua base pela altura da pirâmide e dividindo por 3.
A seguir, aprenderemos tudo sobre a área e o volume de uma pirâmide. Vamos conhecer suas fórmulas e usá-las para resolver alguns exercícios práticos.
Como calcular a área de uma pirâmide?
A área de uma pirâmide pode ser calculada adicionando as áreas de todas as faces da pirâmide. Dependendo do tipo de pirâmide que temos, teremos um número diferente de faces.
A pirâmide mais comum é uma pirâmide com base quadrada, então vamos dar uma olhada na fórmula da área para esse tipo de pirâmide.
Assim, podemos encontrar a área da base da pirâmide quadrada elevando ao quadrado o comprimento de um dos lados da base. Além disso, a área das faces triangulares é igual a metade do comprimento da base multiplicado pela altura do triângulo.
Como todas as quatro faces laterais têm as mesmas dimensões, suas áreas são iguais. Então, a seguinte é a fórmula para a área de uma pirâmide quadrada:
| $latex A_{s}={{l}^2}+2lh$ |
onde, l é o comprimento dos lados da base quadrada e h é a altura inclinada das faces triangulares.
Como calcular o volume de uma pirâmide?
Para encontrar o volume de qualquer pirâmide, temos que multiplicar a área da base da pirâmide pela sua altura e dividir o resultado por 3. Ou seja, temos a seguinte fórmula.
$latex \text{Volume}=\frac{1}{3}\text{Área base}\times \text{Altura}$
Novamente, podemos considerar a pirâmide mais comum como sendo uma pirâmide quadrada. Assim, considerando que a área de um quadrado é encontrada pelo quadrado de um de seus comprimentos de lado, temos a seguinte fórmula:
| $latex V=\frac{1}{3}{{l}^2}\times h$ |
onde, l é o comprimento de um dos lados da base quadrada e h é o comprimento da altura da pirâmide.
Área e volume de pirâmides – Exercícios resolvidos
Nestes exercícios, focaremos na área e no volume das pirâmides quadradas, mas os princípios se aplicam a qualquer tipo de pirâmide.
EXERCÍCIO 1
Encontre a área de uma pirâmide com uma base quadrada com lados de 3 cm e faces triangulares com uma altura de 4 cm.
Solução
Temos o seguinte:
- Lados da base, $latex l=3$
- Altura dos triângulos, $latex h=4$
Usando a fórmula da área da superfície com os comprimentos dados, temos:
$latex A_{s}={{l}^2}+2lh$
$latex A_{s}={{3}^2}+2(3)(4)$
$latex A_{s}=9+24$
$latex A_{s}=33$
A área de superfície é igual a 33 cm².
EXERCÍCIO 2
Encontre o volume de uma pirâmide quadrada com uma altura de 5 mm e lados com um comprimento de 4 mm.
Solução
Temos o seguinte:
- Lados do quadrado, $latex l=4$
- Altura, $latex h=5$
Usando a fórmula do volume, temos:
$latex V=\frac{1}{3}{{l}^2}\times h$
$latex V=\frac{1}{3}{{(4)}^2}\times (5)$
$latex V=\frac{1}{3}(16)\times (5)$
$latex V=26,67$
O volume é igual a 26,67 mm³.
EXERCÍCIO 3
Qual é a área de uma pirâmide quadrada com lados de 5 mm de comprimento e faces triangulares de altura 6 mm?
Solução
Temos o seguinte:
- Lados da base, $latex l=5$
- Altura dos triângulos, $latex h=6$
Usando a fórmula da área com esses comprimentos, temos:
$latex A_{s}={{l}^2}+2lh$
$latex A_{s}={{5}^2}+2(5)(6)$
$latex A_{s}=25+60$
$latex A_{s}=85$
A área é igual a 85 mm².
EXERCÍCIO 4
Encontre o volume de uma pirâmide com 6 m de altura e uma base quadrada com lados de 5 m.
Solução
Temos os seguintes comprimentos:
- Lados do quadrado, $latex l=5$
- Altura, $latex h=6$
Usando a fórmula do volume com esses valores, temos:
$latex V=\frac{1}{3}{{l}^2}\times h$
$latex V=\frac{1}{3}{{(5)}^2}\times (6)$
$latex V=\frac{1}{3}(25)\times (6)$
$latex V=50$
O volume é igual a 50 m³.
EXERCÍCIO 5
Encontre a área de uma pirâmide com uma base quadrada com lados de 10 cm e faces triangulares com uma altura de 7 cm.
Solução
Temos as seguintes dimensões:
- Lados da base, $latex l=10$
- Altura dos triângulos, $latex h=7$
Usando a fórmula da área, temos:
$latex A_{s}={{l}^2}+2lh$
$latex A_{s}={{10}^2}+2(10)(7)$
$latex A_{s}=100+140$
$latex A_{s}=240$
A área é igual a 240 cm².
EXERCÍCIO 6
Encontre o volume de uma pirâmide com 9 m de altura e uma base quadrada com lados de 8 m.
Solução
Temos o seguinte:
- Lados do quadrado, $latex l=8$
- Altura, $latex h=9$
Aplicando a fórmula do volume, temos:
$latex V=\frac{1}{3}{{l}^2}\times h$
$latex V=\frac{1}{3}{{(8)}^2}\times (9)$
$latex V=\frac{1}{3}(64)\times (9)$
$latex V=192$
O volume é igual a 192 m³.
EXERCÍCIO 7
Encontre a área de uma pirâmide quadrada com lados de 11 mm e faces triangulares com altura de 12 mm.
Solução
Temos o seguinte:
- Lados da base, $latex l=11$
- Altura dos triângulos, $latex h=12$
Usando a fórmula da área com os comprimentos dados, temos:
$latex A_{s}={{l}^2}+2lh$
$latex A_{s}={{11}^2}+2(11)(12)$
$latex A_{s}=121+264$
$latex A_{s}=385$
A área é igual a 385 mm².
EXERCÍCIO 8
Encontre o comprimento da altura de uma pirâmide quadrada que tem um volume de 96 m³ e uma base com lados de 6 m.
Solução
Temos o seguinte:
- Lados do quadrado, $latex l=6$
- Volume, $latex V=96$
Neste caso, sabemos o volume da pirâmide e precisamos encontrar o comprimento de sua altura. Então, usamos a fórmula do volume e resolvemos para h:
$latex V=\frac{1}{3}{{l}^2}\times h$
$latex 96=\frac{1}{3}{{(6)}^2}\times h$
$latex 96=\frac{1}{3}(36)\times h$
$latex 96=12 h$
$latex h=8$
O comprimento da altura é igual a 8 m.
Área e volume de pirâmides – Exercícios para resolver
Resolva os exercícios a seguir usando as fórmulas para a área e o volume de uma pirâmide quadrada.
Veja também
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Jefferson Huera Guzman
Jefferson é o principal autor e administrador do Neurochispas.com. O conteúdo interativo de Matemática e Física que criei ajudou muitos alunos.
