Área e Volume de uma Esfera - Fórmulas e Exercícios

A área da superfície de uma esfera é a região coberta por sua superfície externa. Por outro lado, o volume representa o espaço tridimensional ocupado pela figura. Podemos calcular a área superficial de uma esfera usando a fórmula A=4πr² e podemos calcular seu volume usando a fórmula V=(4/3)πr³, onde r é o raio da esfera.

A seguir, aprenderemos tudo sobre a área e o volume de uma esfera. Vamos conhecer suas fórmulas e usá-las para resolver alguns exercícios práticos.

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Como calcular a área de uma esfera?

Podemos calcular a área de uma esfera multiplicando o produto de pi pelo quadrado do raio da esfera por 4. Assim, a fórmula para a área da superfície de uma esfera é dada por:

$latex A_{s}=4\pi{{r}^2}$

onde, $latex A_{s}$ representa a área da superfície da esfera e r representa o comprimento do raio.

superfície-área-diagrama-da-esfera-com-raio

Calcule a área de uma esfera usando o diâmetro

Se soubermos o comprimento do diâmetro, podemos calcular sua área usando dois métodos principais. O primeiro método é dividir o comprimento do diâmetro por 2 e, assim, usar a fórmula padrão para a área de uma esfera.

O segundo método é encontrar uma fórmula para a área de uma esfera em termos de diâmetro. Assim, substituindo a expressão r=d/2 na fórmula da área, temos:

$latex A_{s}=4\pi{{r}^2}$

$latex A_{s}=4\pi(\frac{d}{2})^2$

$latex A_{s}=4\pi(\frac{d^2}{4})$

$latex A_{s}=\pi{{d}^2}$

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Como calcular o volume de uma esfera?

Podemos calcular o volume de uma esfera usando a seguinte fórmula:

$latex V=\frac{4}{3}\pi {{r}^3}$

onde r é o comprimento do raio da esfera.

A fórmula para o volume de uma esfera pode ser provada usando o cálculo integral.

Calcular o volume de uma esfera usando o diâmetro

Para calcular o volume de uma esfera usando seu diâmetro, podemos usar dois métodos diferentes. O primeiro método é dividir o diâmetro por 2 para obter o raio e usar a fórmula padrão para o volume de uma esfera.

O segundo método é obter uma fórmula para o volume de uma esfera em termos de diâmetro. Podemos fazer isso substituindo a expressão r = d/2 na fórmula do volume. Então nós temos:

$latex V=\frac{4}{3}\pi {{r}^3}$

$latex V=\frac{4}{3}\pi {{(\frac{d}{2})}^3}$

$latex V=\frac{4}{3}\pi (\frac{{{d}^3}}{8})$

$latex V=\frac{4}{24}\pi {{d}^3}$

$latex V=\frac{1}{6}\pi {{d}^3}$

onde, d é o comprimento do diâmetro.

Calcular o volume de uma esfera oca

Podemos calcular o volume de uma esfera oca subtraindo o volume da parte oca do volume total da esfera. Então, se usarmos $latex r_{1}$ para representar o raio da esfera inteira e $latex r_{2}$ para representar o raio interno, ou seja, o raio da parte oca, temos:

$latex V=\frac{4}{3}\pi {{r_{1}}^3}-\frac{4}{3}\pi {{r_{2}}^3}$

Simplificando, podemos obter a seguinte fórmula:

$latex V=\frac{4}{3}\pi ({{r_{1}}^3}-{{r_{2}}^3})$

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Área e volume de uma esfera – Exercícios resolvidos

As fórmulas para a área e o volume de uma esfera são usadas para resolver os seguintes exercícios. Tente resolver os exercícios antes de olhar para a solução.

EXERCÍCIO 1

Encontre a área de uma esfera com um raio de 4 mm.

Solução

Usando a fórmula da área com comprimento $latex r=4$, temos:

$latex A_{s}=4\pi {{r}^2}$

$latex A_{s}=4\pi {{(4)}^2}$

$latex A_{s}=4\pi (16)$

$latex A_{s}=201,1$

A área da esfera é igual a 201,1 mm².

const alltoggles = document.getElementsByClassName("wp-block-ub-content-toggle-accordion-title-wrap"); const toggle1 = alltoggles[0]; toggle1.addEventListener('click', runToggle1); function runToggle1() { freestar.config.enabled_slots.push({ placementName: "neurochispas_leaderboard_3", slotId: "neurochispas_leaderboard_3" }); toggle1.removeEventListener('click', runToggle1); }

EXERCÍCIO 2

Encontre o volume de uma esfera com um raio de 3 cm.

Solução

Usando a fórmula para volume em termos de raio com $latex r=3$, temos:

$latex V=\frac{4}{3}\pi {{r}^3}$

$latex V=\frac{4}{3}\pi {{(3)}^3}$

$latex V=\frac{4}{3}\pi (27)$

$latex V=113,1$

O volume é igual a 113,1 cm³.

const toggle2 = alltoggles[1]; toggle2.addEventListener('click', runToggle2); function runToggle2() { freestar.config.enabled_slots.push({ placementName: "neurochispas_leaderboard_3", slotId: "neurochispas_leaderboard_3_2" }); toggle2.removeEventListener('click', runToggle2);}

EXERCÍCIO 3

Qual é a área de uma esfera com um raio de 5 cm?

Solução

Usamos o raio $latex r=5$ na fórmula da área. Então temos:

$latex A_{s}=4\pi {{r}^2}$

$latex A_{s}=4\pi {{(5)}^2}$

$latex A_{s}=4\pi (25)$

$latex A_{s}=314,2$

A área da esfera é igual a 314,2 cm².

const toggle3 = alltoggles[2]; toggle3.addEventListener('click', runToggle3); function runToggle3() { freestar.config.enabled_slots.push({ placementName: "neurochispas_leaderboard_3", slotId: "neurochispas_leaderboard_3_3" }); toggle3.removeEventListener('click', runToggle3);}

EXERCÍCIO 4

Qual é o volume de uma esfera com um raio de 4 mm?

Solução

Usando a fórmula para volume em termos de raio com comprimento $latex r=4$, temos:

$latex V=\frac{4}{3}\pi {{r}^3}$

$latex V=\frac{4}{3}\pi {{(4)}^3}$

$latex V=\frac{4}{3}\pi (64)$

$latex V=268,1$

O volume é igual a 268,1 mm³.

const toggle4 = alltoggles[3]; toggle4.addEventListener('click', runToggle4); function runToggle4() { freestar.config.enabled_slots.push({ placementName: "neurochispas_leaderboard_3", slotId: "neurochispas_leaderboard_3_4" }); toggle4.removeEventListener('click', runToggle4);}

EXERCÍCIO 5

Encontre a área de uma esfera com um diâmetro de 12 cm.

Solução

Como temos o comprimento do diâmetro, podemos dividi-lo por 2 para obter o raio. Então, usamos a fórmula da área da esfera com comprimento $latex r=6$:

$latex A_{s}=4\pi {{r}^2}$

$latex A_{s}=4\pi {{(6)}^2}$

$latex A_{s}=4\pi (36)$

$latex A_{s}=452,4$

A área da esfera é igual a 452,4 cm².

const toggle5 = alltoggles[4]; toggle5.addEventListener('click', runToggle5); function runToggle5() { freestar.config.enabled_slots.push({ placementName: "neurochispas_leaderboard_3", slotId: "neurochispas_leaderboard_3_5" }); toggle5.removeEventListener('click', runToggle5);}

EXERCÍCIO 6

Encontre o volume de uma esfera com um diâmetro de 5 m.

Solução

Como temos o diâmetro da esfera, podemos dividi-lo por 2 para obter o raio. Isso significa que o raio é igual a $latex r=2,5$. Então temos:

$latex V=\frac{4}{3}\pi {{r}^3}$

$latex V=\frac{4}{3}\pi {{(2,5)}^3}$

$latex V=\frac{4}{3}\pi (6,25)$

$latex V=26,2$

O volume é igual a 26,2 m³.

const toggle6 = alltoggles[5]; toggle6.addEventListener('click', runToggle6); function runToggle6() { freestar.config.enabled_slots.push({ placementName: "neurochispas_leaderboard_3", slotId: "neurochispas_leaderboard_3_6" }); toggle6.removeEventListener('click', runToggle6);}

EXERCÍCIO 7

Qual é o raio de uma esfera com uma área de 200 cm²?

Solução

Neste caso, conhecemos a área e queremos encontrar o comprimento do raio. Então, vamos usar a fórmula da área da esfera e resolver para r:

$latex A_{s}=4\pi {{r}^2}$

$latex 200=4\pi {{r}^2}$

$latex 50=\pi {{r}^2}$

$latex 15.92={{r}^2}$

$latex r=3,99$

O comprimento do raio é 3,99 cm.

const toggle7 = alltoggles[6]; toggle7.addEventListener('click', runToggle7); function runToggle7() { freestar.config.enabled_slots.push({ placementName: "neurochispas_leaderboard_3", slotId: "neurochispas_leaderboard_3_7" }); toggle7.removeEventListener('click', runToggle7);}

EXERCÍCIO 8

Encontre o volume de uma esfera oca que tem um raio externo de 6 cm e um raio interno de 4 cm.

Solução

A esfera oca tem raios $latex r_{1}=6$ e $latex r_{2}=4$. Assim, podemos usar a fórmula para o volume de uma esfera oca com estes raios:

$latex V=\frac{4}{3}\pi ({{r_{1}}^3}-{{r_{2}}^3})$

$latex V=\frac{4}{3}\pi ({{(6)}^3}-{{(4)}^3})$

$latex V=\frac{4}{3}\pi (216-64)$

$latex V=\frac{4}{3}\pi (152)$

$latex V=636,7$

O volume é igual a 636,7 cm³.

const toggle8 = alltoggles[7]; toggle8.addEventListener('click', runToggle8); function runToggle8() { freestar.config.enabled_slots.push({ placementName: "neurochispas_leaderboard_3", slotId: "neurochispas_leaderboard_3_8" }); toggle8.removeEventListener('click', runToggle8);}

EXERCÍCIO 9

Encontre o raio de uma esfera com uma área de 460 m².

Solução

Vamos usar a fórmula da área da esfera e resolver para r:

$latex A_{s}=4\pi {{r}^2}$

$latex 460=4\pi {{r}^2}$

$latex 115=\pi {{r}^2}$

$latex 36,6={{r}^2}$

$latex r=6,05$

O comprimento do raio é de 6,05 m.

const toggle9 = alltoggles[8]; toggle9.addEventListener('click', runToggle9); function runToggle9() { freestar.config.enabled_slots.push({ placementName: "neurochispas_leaderboard_3", slotId: "neurochispas_leaderboard_3_9" }); toggle9.removeEventListener('click', runToggle9);}

EXERCÍCIO 10

Qual é o volume de uma esfera oca que tem um raio externo de 5 mm e um raio interno de 4 mm?

Solução

Os raios da esfera oca são $latex r_{1}=5$ e $latex r_{2}=4$. Então temos:

$latex V=\frac{4}{3}\pi ({{r_{1}}^3}-{{r_{2}}^3})$

$latex V=\frac{4}{3}\pi ({{(5)}^3}-{{(4)}^3})$

$latex V=\frac{4}{3}\pi (125-64)$

$latex V=\frac{4}{3}\pi (152)$

$latex V=255,5$

O volume é igual a 255,5 mm³.

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Área e volume de uma esfera – Exercícios para resolver

Use as fórmulas para a área e o volume de uma esfera para resolver os exercícios a seguir. Clique em “Verificar” para verificar se sua resposta está correta.

Encontre a área de uma esfera que tem um raio de 3 mm.

Escolha uma resposta

$latex A_{s}=86,5~{{mm}^2}$

$latex A_{s}=98,3~{{mm}^2}$

$latex A_{s}=113,1~{{mm}^2}$

$latex A_{s}=126,8~{{mm}^2}$

Encontre o volume de uma esfera que tem um raio de 7 m.

Escolha uma resposta

$latex V=1265,3~{{m}^3}$

$latex V=1291,3~{{m}^3}$

$latex V=1356,5~{{m}^3}$

$latex V=1436,8~{{m}^3}$

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Encontre a área de uma esfera que tem um diâmetro de 9 cm.

Escolha uma resposta

$latex A_{s}=213,4~{{cm}^2}$

$latex A_{s}=235,6~{{cm}^2}$

$latex A_{s}=254,5~{{cm}^2}$

$latex A_{s}=276,5~{{cm}^2}$

Qual é o volume de uma esfera que tem um diâmetro de 6 m?

Escolha uma resposta

$latex V=113,1~{{m}^3}$

$latex V=471,2~{{m}^3}$

$latex V=876,2~{{m}^3}$

$latex V=1357,2~{{m}^3}$

freestar.config.enabled_slots.push({ placementName: "neurochispas_leaderboard_3", slotId: "neurochispas_leaderboard_3_p2" });

Encontre o volume de uma esfera oca que tem um raio interno de 2 cm e um raio externo de 5 cm.

Escolha uma resposta

$latex V=657,1~{{cm}^3}$

$latex V=735,1~{{cm}^3}$

$latex V=928,3~{{cm}^3}$

$latex V=1246,7~{{cm}^3}$

freestar.config.enabled_slots.push({ placementName: "neurochispas_leaderboard_3", slotId: "neurochispas_leaderboard_3_d4" });

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Jefferson Huera Guzman

Jefferson é o principal autor e administrador do Neurochispas.com. O conteúdo interativo de Matemática e Física que criei ajudou muitos alunos.

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Calcule a área de uma esfera usando o diâmetro

Como calcular o volume de uma esfera?

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Área e volume de uma esfera – Exercícios resolvidos

EXERCÍCIO 1

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Área e volume de uma esfera – Exercícios para resolver

Encontre a área de uma esfera que tem um raio de 3 mm.

Encontre o volume de uma esfera que tem um raio de 7 m.

Encontre a área de uma esfera que tem um diâmetro de 9 cm.

Qual é o volume de uma esfera que tem um diâmetro de 6 m?

Encontre o volume de uma esfera oca que tem um raio interno de 2 cm e um raio externo de 5 cm.

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