O perímetro de um triângulo isósceles representa o comprimento total ao redor do triângulo. Por outro lado, a área representa o espaço bidimensional ocupado pela figura. Podemos encontrar o perímetro de um triângulo isósceles somando os comprimentos de seus três lados, e podemos encontrar sua área multiplicando o produto de sua base e altura pela metade.
A seguir, aprenderemos a calcular o perímetro e a área de um triângulo isósceles. Vamos conhecer suas fórmulas e usá-las para resolver alguns exercícios práticos.
GEOMETRIA
Relevante para…
Aprender sobre o perímetro e a área de um triângulo isósceles.
GEOMETRIA
Relevante para…
Aprender sobre o perímetro e a área de um triângulo isósceles.
Como calcular o perímetro de um triângulo isósceles?
Podemos calcular o perímetro de um triângulo isósceles somando os comprimentos de seus três lados. Isso significa que podemos usar a seguinte fórmula:
$latex p=a+b+c$
onde, $latex a,~b,~c$ são os comprimentos dos lados do triângulo.
No entanto, como um triângulo isósceles tem dois lados de igual comprimento, podemos simplificar a fórmula do perímetro da seguinte forma:
| $latex p=b+2a$ |
onde, b é o comprimento da base e a é o comprimento dos lados congruentes.
Como calcular a área de um triângulo isósceles?
Podemos calcular a área de um triângulo isósceles multiplicando pela metade o produto de sua base e altura. Ou seja, multiplicamos os comprimentos de sua base e sua altura e dividimos por 2:
| $latex \text{Área}= \frac{1}{2} \times \text{base} \times \text{altura}$ $latex A=\frac{1}{2} \times b \times h$ |
onde, b é o comprimento da base e h é o comprimento da altura.
Calcular a área de um triângulo isósceles se conhecermos apenas seus lados
Para encontrar a área de um triângulo isósceles apenas em termos de seus lados, precisamos encontrar uma expressão para a altura do triângulo em termos de seus lados e depois colocá-la na fórmula da área.
A Altura do Triângulo Isósceles pode ser calculada usando a seguinte fórmula:
$latex h=\sqrt{{{a}^2}-\frac{{{b}^2}}{4}}$
Substituindo essa expressão de altura na fórmula da área, temos:
| $latex A=\frac{1}{2}(\sqrt{{{a}^2}-\frac{{{b}^2}}{4}}\times b)$ |
onde,
- b é o comprimento da base do triângulo isósceles
- h é a altura do triângulo
- a é o comprimento dos lados congruentes do triângulo isósceles
Área e perímetro de um triângulo isósceles – Exercícios resolvidos
EXERCÍCIO 1
Encontre o perímetro de um triângulo isósceles com um comprimento de base de 11 mm e lados congruentes de 8 mm.
Solução
Temos os seguintes comprimentos:
- Base, $latex b=11$ mm
- Lados, $latex a=8$ mm
Usando a fórmula do perímetro com esses valores, temos:
$latex p=b+2a$
$latex p=11+2(8)$
$latex p=11+16$
$latex p=27$
O perímetro do triângulo é igual a 27 mm.
EXERCÍCIO 2
Encontre a área de um triângulo isósceles com um comprimento de base de 6 cm e uma altura de 7 cm.
Solução
Temos as seguintes informações:
- Altura, $latex h=7$ cm
- Base, $latex b=6$ cm
Usando a fórmula da área com esses valores, temos:
$latex A= \frac{1}{2} \times b \times h$
$latex A= \frac{1}{2} (6)(7)$
$latex A=21$
A área do triângulo é igual a 21 cm².
EXERCÍCIO 3
Qual é o perímetro de um triângulo isósceles com uma base de 12 m e lados congruentes de 15 m?
Solução
Temos os seguintes comprimentos:
- Base, $latex b=12$ m
- Lados, $latex a=15$ m
Aplicando a fórmula do perímetro com as informações fornecidas, temos:
$latex p=b+2a$
$latex p=12+2(15)$
$latex p=12+30$
$latex p=42$
O perímetro do triângulo é igual a 42 m.
EXERCÍCIO 4
Encontre a área de um triângulo isósceles com um comprimento de base de 10 mm e uma altura de 11 mm.
Solução
Temos os seguintes comprimentos:
- Altura, $latex h=11$ mm
- Base, $latex b=10$ mm
Substituindo esses valores na fórmula da área, temos:
$latex A= \frac{1}{2} \times b \times h$
$latex A= \frac{1}{2} (10)(11)$
$latex A=55$
A área do triângulo é igual a 55 mm².
EXERCÍCIO 5
Qual é o perímetro de um triângulo isósceles com lados congruentes de 22 cm e uma base de 15 cm?
Solução
Podemos observar os seguintes comprimentos:
- Base, $latex b=15$ cm
- Lados, $latex a=22$ cm
Usando a fórmula do perímetro com esses valores, temos:
$latex p=b+2a$
$latex p=15+2(22)$
$latex p=15+44$
$latex p=59$
O perímetro do triângulo é igual a 59 cm.
EXERCÍCIO 6
Qual é a área de um triângulo isósceles com 13 m de altura e 15 m de base?
Solução
Temos os seguintes comprimentos:
- Altura, $latex h=13$ m
- Base, $latex b=15$ m
Usando a fórmula da área com esses valores, temos:
$latex A= \frac{1}{2} \times b \times h$
$latex A= \frac{1}{2} (15)(13)$
$latex A=97,5$
A área do triângulo é igual a 97,5 m².
EXERCÍCIO 7
Qual é o comprimento da base de um triângulo isósceles com um perímetro de 38 cm e lados congruentes de 13 cm?
Solução
Temos o seguinte:
- Perímetro, $latex p=38$ cm
- Lados, $latex a=13$ cm
Nesse caso, conhecemos o perímetro do triângulo e queremos encontrar o comprimento da base, então usamos a fórmula do perímetro e resolvemos para b:
$latex p=b+2a$
$latex 38=b+2(13)$
$latex 38=b+26$
$latex b=12$
O comprimento da base é de 12 cm.
EXERCÍCIO 8
Qual é a área de um triângulo isósceles com um comprimento de base de 8 m e lados congruentes de 10 m?
Solução
Temos os seguintes comprimentos:
- Base, $latex b=8$ m
- Lados congruentes, $latex a=10$ m
Como conhecemos apenas os comprimentos dos lados do triângulo e não sua altura, podemos usar a fórmula da segunda área e temos:
$latex h=\frac{1}{2}(\sqrt{{{a}^2}-\frac{{{b}^2}}{4}}\times b)$
$latex h=\frac{1}{2}(\sqrt{{{10}^2}-\frac{{{8}^2}}{4}}\times 8)$
$latex h=\frac{1}{2}(\sqrt{100-\frac{64}{4}}\times 8)$
$latex h=\frac{1}{2}(\sqrt{100-16}\times 8)$
$latex h=\frac{1}{2}(\sqrt{84}\times 8)$
$latex h=\frac{1}{2}(9,17\times 8)$
$latex h=\frac{1}{2}(73,36)$
$latex h=36,68$
A área do triângulo é igual a 36,68 m². A área do triângulo é igual a 36,68 m².
EXERCÍCIO 9
Se um triângulo isósceles tem um comprimento de base de 25 mm e um perímetro de 55 mm, qual é o comprimento de um dos lados congruentes do triângulo?
Solução
Temos o seguinte:
- Perímetro, $latex p=55$ mm
- Base, $latex b=25$ mm
Podemos usar a fórmula do perímetro e resolver para a:
$latex p=b+2a$
$latex 55=25+2a$
$latex 2a=30$
$latex a=15$
O comprimento de um dos lados congruentes do triângulo é igual a 15 mm.
EXERCÍCIO 10
Qual é a área de um triângulo isósceles que tem um comprimento de base de 12 cm e lados congruentes de comprimento 14 cm?
Solução
Temos os seguintes comprimentos:
- Base, $latex b=12$ cm
- Lados congruentes, $latex a=14$ cm
Usando a segunda fórmula de área, temos:
$latex h=\frac{1}{2}(\sqrt{{{a}^2}-\frac{{{b}^2}}{4}}\times b)$
$latex h=\frac{1}{2}(\sqrt{{{14}^2}-\frac{{{12}^2}}{4}}\times 12)$
$latex h=\frac{1}{2}(\sqrt{196-\frac{144}{4}}\times 12)$
$latex h=\frac{1}{2}(\sqrt{196-36}\times 12)$
$latex h=\frac{1}{2}(\sqrt{160}\times 12)$
$latex h=\frac{1}{2}(12,65 \times 12)$
$latex h=\frac{1}{2}(151,8)$
$latex h=75,9$
A área do triângulo é igual a 75,9 cm².
Área e perímetro de um triângulo isósceles – Exercícios para resolver
Veja também
Interessado em aprender mais sobre triângulos isósceles? Veja estas páginas:
Jefferson Huera Guzman
Jefferson é o principal autor e administrador do Neurochispas.com. O conteúdo interativo de Matemática e Física que criei ajudou muitos alunos.
