A área de um setor circular representa a quantidade de espaço ocupada pelo setor. Podemos calcular a área de um setor circular encontrando a área total do círculo e multiplicando-a pelo ângulo do setor em 360°.
A seguir, aprenderemos a calcular a área de um determinado setor circular em graus e radianos. Conheceremos as fórmulas que podemos usar e as aplicaremos para resolver alguns exercícios práticos.
Como calcular a área de um setor circular?
Lembremos que um setor circular é uma porção do círculo formada por seus dois raios e por um arco que une os raios. Um exemplo comum de um setor circular é um semicírculo, que representa metade de um círculo.
Podemos encontrar a área de um setor circular considerando que a área será igual à área total do círculo multiplicada por uma fração que representa o setor em relação ao círculo completo.
Por exemplo, suponha que queremos encontrar a área do setor a seguir, que representa um quarto do círculo.
Podemos começar calculando a área do círculo. Então vemos que o raio é igual a 2 unidades. Usando a fórmula $latex A=\pi r^2$, obtemos $latex A=50,265$.
Agora, basta dividir essa área por 4 para obter a área do setor. Portanto, a área do setor é de 12,566 unidades quadradas.
Essa ideia pode ser estendida para encontrar a área de qualquer setor usando as fórmulas abaixo.
Fórmulas para a área de um setor circular
Temos duas fórmulas principais que podemos usar para encontrar a área de um setor circular dependendo de como o ângulo do setor circular é expresso.
Área de um setor circular usando graus
Sabemos que um círculo completo tem um total de 360°. Além disso, sabemos que a área de um círculo pode ser encontrada usando a fórmula $latex A=\pi r^2$, onde r é o raio do círculo.
Então, se conhecemos o ângulo do setor, podemos encontrar sua área com a seguinte fórmula:
| $$A_{\text{setor}}=\frac{\theta}{360^{\circ}}\times \pi r^2$$ |
onde, θ é o ângulo que representa o setor dado em graus e r é o raio do círculo.
Área de um setor circular usando radianos
Um círculo completo tem um total de 2π radianos, que é igual a 360°. Assim, podemos modificar a fórmula acima para usá-la quando tivermos o setor circular definido em radianos.
$$A_{\text{setor}}=\frac{\theta}{360^{\circ}}\times \pi r^2$$
$$A_{\text{setor}}=\frac{\theta}{2\pi}\times \pi r^2$$
| $$A_{\text{setor}}=\frac{\theta}{2}\times r^2$$ |
onde, θ é o ângulo que representa o setor dado em radianos e r é o raio do círculo.
Área de um setor circular – Exercícios resolvidos
Cada um dos exercícios a seguir tem sua respectiva resposta. Esses exercícios são resolvidos aplicando as fórmulas para a área de um setor circular.
EXERCÍCIO 1
Encontre a área de um setor circular que tem um ângulo central de 30° e um raio de 2 m.
Solução
Neste exercício, temos um setor circular dado em graus, então podemos usar a seguinte função com os valores dados:
$$A_{\text{setor}}=\frac{\theta}{360^{\circ}}\times \pi r^2$$
$$A_{\text{setor}}=\frac{30^{\circ}}{360^{\circ}}\times \pi (2)^2$$
$$A_{\text{setor}}=\frac{1}{12}\times \pi (4)$$
$$A_{\text{setor}}=\frac{\pi}{3}$$
A área do setor é $latex \frac{\pi}{3}~m^2$.
EXERCÍCIO 2
Qual é a área de um setor circular que tem um raio de 3 cm e um ângulo central de π/3?
Solução
Como temos um setor circular dado em radianos, podemos usar a segunda fórmula:
$$A_{\text{setor}}=\frac{\theta}{2}\times r^2$$
$$A_{\text{setor}}=\frac{\frac{\pi}{3}}{2}\times (3)^2$$
$$A_{\text{setor}}=\frac{\pi}{6}\times 9$$
$$A_{\text{setor}}=\frac{3\pi}{2}$$
A área do setor circular é $latex \frac{3\pi}{2}~cm^2$
EXERCÍCIO 3
Se um setor circular tem um raio de 4 cm e um ângulo de 40°, encontre sua área.
Solução
O setor circular é dado em graus, então usamos a primeira fórmula com os valores r=4 e θ=40°. Então temos:
$$A_{\text{setor}}=\frac{\theta}{360^{\circ}}\times \pi r^2$$
$$A_{\text{setor}}=\frac{40^{\circ}}{360^{\circ}}\times \pi (4)^2$$
$$A_{\text{setor}}=\frac{1}{9}\times \pi (16)$$
$$A_{\text{setor}}=5,585$$
A área do setor é $latex 5,585~cm^2$.
EXERCÍCIO 4
Determine a área de um setor que tem um ângulo de π/4 e um raio de 5 cm.
Solução
Vamos usar a segunda fórmula com os valores r=5 e θ=π/4. Então temos:
$$A_{\text{setor}}=\frac{\theta}{2}\times r^2$$
$$A_{\text{setor}}=\frac{\frac{\pi}{4}}{2}\times (5)^2$$
$$A_{\text{setor}}=\frac{\pi}{8}\times 25$$
$$A_{\text{setor}}=9,817$$
A área do setor circular é $latex 9,817~cm^2$
EXERCÍCIO 5
Encontre a área de um setor circular que tem um ângulo de 140° e um raio de 2,5 cm.
Solução
Usando a primeira fórmula com os valores r=2,5 e θ=140°, temos:
$$A_{\text{setor}}=\frac{\theta}{360^{\circ}}\times \pi r^2$$
$$A_{\text{setor}}=\frac{140^{\circ}}{360^{\circ}}\times \pi (2,5)^2$$
$$A_{\text{setor}}=\frac{7}{18}\times \pi (6,25)$$
$$A_{\text{setor}}=7,636$$
A área do setor é $latex 7,636~cm^2$.
EXERCÍCIO 6
Encontre a área de um setor circular que tem um ângulo de 3π/4 e um raio de 3 cm.
Solução
Usando a segunda fórmula com os valores r=3 e θ=3π/4, temos:
$$A_{\text{setor}}=\frac{\theta}{2}\times r^2$$
$$A_{\text{setor}}=\frac{\frac{3\pi}{4}}{2}\times (3)^2$$
$$A_{\text{setor}}=\frac{3\pi}{8}\times 9$$
$$A_{\text{setor}}=10,603$$
A área do setor circular é $latex 10,603~cm^2$
EXERCÍCIO 7
Encontre a área de um setor circular que tem um ângulo de 110° e um raio de 10 cm.
Solução
Usamos a primeira fórmula com os valores r=10 e θ=110° e temos:
$$A_{\text{setor}}=\frac{\theta}{360^{\circ}}\times \pi r^2$$
$$A_{\text{setor}}=\frac{110^{\circ}}{360^{\circ}}\times \pi (10)^2$$
$$A_{\text{setor}}=\frac{11}{36}\times \pi (100)$$
$$A_{\text{setor}}=96$$
A área do setor é $latex 96~cm^2$.
Área de um setor circular – Exercícios para resolver
Use as fórmulas para a área de um setor circular para resolver os exercícios a seguir. Clique em “Verificar” para verificar se sua resposta está correta.
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Jefferson Huera Guzman
Jefferson é o principal autor e administrador do Neurochispas.com. O conteúdo interativo de Matemática e Física que criei ajudou muitos alunos.
