A área de um círculo é a região ocupada pelo círculo no plano bidimensional. Podemos facilmente determinar esta área usando a fórmula A=πr², onde r é o comprimento do raio do círculo e onde π é uma constante matemática com um valor aproximado de 3,14.
Em seguida, vamos explorar a área de um círculo com mais detalhes. Vamos aprender de onde deriva a fórmula para a área de um círculo. Além disso, vamos analisar outros métodos de cálculo da área de um círculo.
Cálculo da área de um círculo usando o raio
Lembre-se de que um círculo é uma figura geométrica fechada. Tecnicamente, um círculo é um conjunto de pontos localizados a uma distância fixa de um ponto central. A distância fixa do ponto é o raio do círculo.
O raio é a linha que une o centro do círculo ao limite externo. O seguinte é um círculo com um raio r:
A área de um círculo pode ser calculada com a seguinte fórmula:
| A=πr² |
onde, r é o comprimento do raio e π é o valor de pi, $latex \pi=\frac{22}{7}$ ou aproximadamente 3.14.
Demonstração da fórmula da área de círculos
Podemos derivar a fórmula para a área dos círculos dividindo o círculo em vários setores e organizando os setores como mostrado na figura a seguir:
A área do círculo é igual à área do paralelogramo formada pelos setores cortados do círculo. Como todos os setores têm a mesma área, cada setor terá o mesmo comprimento de arco.
Se o número de setores cortados do círculo for aumentado, o paralelogramo eventualmente se parecerá com um retângulo com uma base igual a πr e uma altura igual a r.
Sabemos que a área de um retângulo é igual à base vezes a altura, então temos:
$latex A=\pi r\times r$
$latex A=\pi {{r}^2}$
Como encontrar a área de um círculo usando o diâmetro?
Para encontrar a área de um círculo quando conhecemos o comprimento do diâmetro, temos de encontrar o comprimento do raio usando o diâmetro e depois usá-lo na fórmula para a área de um círculo.
Lembre-se de que o diâmetro é igual a $latex d=2r$. Ou seja, o comprimento do raio é igual ao comprimento do diâmetro dividido por 2.
Então, podemos usar a fórmula para a Área de um Círculo Padrão com o comprimento do raio encontrado:
$latex A=\pi r^2$
Alternativamente, podemos determinar uma fórmula para a área de um círculo em termos de diâmetro.
Portanto, lembrando que a fórmula de um círculo é a seguinte:
$latex A=\pi r^2$
podemos substituir a seguinte relação na fórmula:
$latex d=2r$
$latex r=\frac{d}{2}$
Então, temos:
$latex A=\pi r^2$
$latex A=\pi (\frac{d}{2})^2$
| $$A=\pi (\frac{d^2}{4})$$ |
onde d é o diâmetro do círculo e A é a sua área.
Como encontrar a área de um círculo usando a circunferência?
Podemos encontrar a área de um círculo determinando o comprimento do raio a partir da circunferência e depois usando esse comprimento na fórmula padrão para a área de um círculo.
Então, lembramos que a circunferência pode ser escrita da seguinte forma:
$latex C=2\pi r$
Portanto, para encontrar o comprimento do raio, podemos dividir a circunferência por 2π. Depois, usamos a fórmula para a Área de um Círculo com o raio encontrado:
$latex A=\pi r^2$
Alternativamente, podemos derivar uma fórmula para a área de um círculo em termos da circunferência. Então, começamos com a fórmula padrão para a área de um círculo:
$latex A=\pi r^2$
Agora, podemos substituir a seguinte equação:
$latex C=2\pi r$
$latex r=\frac{C}{2\pi}$
Então, temos:
$latex A=\pi r^2$
$latex A=\pi (\frac{C}{2\pi})^2$
$latex A=\pi (\frac{C^2}{4\pi^2})$
| $$A= \frac{C^2}{4\pi}$$ |
onde C é a circunferência e A é a área do círculo.
Exercícios de área de círculos resolvidos
EXERCÍCIO 1
Qual é a área de um círculo com raio de 5 m?
Solução
Podemos usar a primeira fórmula da área com o valor $latex r = 5$. Então, temos:
$latex A=\pi {{r}^2}$
$latex A=\pi {{(5)}^2}$
$latex A=\pi (25)$
$latex A=78,5$
A área do círculo é de 78,5 m².
EXERCÍCIO 2
Um círculo tem um raio de 12 m. Qual é sua área?
Solução
Aqui, temos o raio $latex r = 12$, então usamos este valor na primeira fórmula para a área:
$latex A=\pi {{r}^2}$
$latex A=\pi {{(12)}^2}$
$latex A=\pi (144)$
$latex A=452,4$
A área do círculo é de 452,4 m².
EXERCÍCIO 3
Qual é a área de um círculo com diâmetro de 10 m?
Solução
Neste caso, temos o diâmetro em vez do raio, então usamos a segunda fórmula com o valor $latex d = 10$. Então, temos:
$latex A=\pi(\frac{{{d}^2}}{4})$
$latex A=\pi(\frac{{{(10)}^2}}{4})$
$latex A=\pi(\frac{100}{4})$
$latex A=\pi(25)$
$latex A=78,5$
A área do círculo é de 78,5 m².
EXERCÍCIO 4
Se um círculo tiver um diâmetro de 20 m. Qual é a sua área?
Solução
Novamente, usamos o diâmetro na segunda fórmula com o valor. Então, substituímos o valor $latex d=20$:
$latex A=\pi(\frac{{{d}^2}}{4})$
$latex A=\pi(\frac{{{(20)}^2}}{4})$
$latex A=\pi(\frac{400}{4})$
$latex A=\pi(100)$
$latex A=314,16$
A área do círculo é de 314,16 m².
EXERCÍCIO 5
Um círculo tem uma área de 150 cm². Qual é o comprimento do seu raio?
Solução
Neste caso, começamos com a área e queremos encontrar o comprimento do raio. Portanto, usamos o valor $latex A = 150$ na primeira fórmula e resolvemos para r:
$latex A=\pi {{r}^2}$
$latex 150=\pi {{r}^2}$
$latex {{r}^2}=\frac{150}{\pi}$
$latex {{r}^2}=47,75$
$latex r=6,91$
O raio do círculo é 6,91 cm.
EXERCÍCIO 6
Determine o comprimento do diâmetro de um círculo com uma área de $latex 55~{{cm}^2}$.
Solução
Este exercício é semelhante ao anterior, então temos que usar o valor da área dado e resolver para d:
$$A=\pi (\frac{d^2}{4})$$
$$55=\pi (\frac{d^2}{4})$$
$latex 220=\pi~{{d}^2}$
$latex d^2=70,028$
$latex d=8,368$
O diâmetro do círculo tem um comprimento de 8,368 cm.
EXERCÍCIO 7
Qual é a área de um círculo com uma circunferência de 25 cm?
Solução
Vamos usar o primeiro método. Assim, encontramos o comprimento do raio da seguinte forma:
$latex r=\frac{C}{2\pi}$
$latex r=\frac{25}{2\pi}$
$latex r=3,979$
Agora, usamos a fórmula para a área de um círculo em termos do raio:
$latex A=\pi~r^2$
$latex A=\pi~(3,979)^2$
$latex A\approx 49,739$
A área do círculo é 49,739 cm2.
EXERCÍCIO 8
Encontre a circunferência de um círculo com uma área de $latex 88~{{cm}^2}$.
Solução
Podemos resolver este exercício usando a fórmula para a área de um círculo em termos da circunferência e resolvendo para C:
$$A= \frac{C^2}{4\pi}$$
$$88= \frac{C^2}{4\pi}$$
$latex 352\pi={{C}^2}$
$latex C=33,254$
A circunferência do círculo é igual a 33,254 cm.
Exercícios de área de um círculo para resolver
Se temos um círculo com uma área de $latex 60 ~{{m}^2}$, qual é a sua circunferência?
Escreva a resposta com duas casas decimais.
Veja também
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Jefferson Huera Guzman
Jefferson é o principal autor e administrador do Neurochispas.com. O conteúdo interativo de Matemática e Física que criei ajudou muitos alunos.
