A altura de um triângulo isósceles é a distância perpendicular da base ao vértice oposto. Para calcular a altura, podemos usar o teorema de Pitágoras e derivar uma fórmula que depende do comprimento da base e do comprimento de um dos lados congruentes.
A seguir, aprenderemos como derivar a fórmula para a altura dos triângulos isósceles. Além disso, usaremos esta fórmula para resolver alguns exercícios práticos.
Fórmula para a altura de um triângulo isósceles
A altura de um triângulo isósceles é calculada usando o comprimento de sua base e o comprimento de um dos lados congruentes. Podemos calcular a altura usando a seguinte fórmula:
| $latex h= \sqrt{{{a}^2}- \frac{{{b}^2}}{4}}$ |
onde, a é o comprimento dos lados congruentes do triângulo e b é o comprimento da base do triângulo.
Derivação da fórmula de altura
Para derivar essa fórmula, podemos considerar o seguinte triângulo isósceles:
Desenhando uma linha que representa a altura, podemos ver que dividimos o triângulo isósceles em dois triângulos retângulos congruentes. Podemos usar um dos triângulos obtidos e aplicar o teorema de Pitágoras para calcular a altura.
Lembre-se de que o teorema de Pitágoras nos diz que o quadrado da hipotenusa é igual à soma dos quadrados dos lados. Então, temos:
$latex {{a}^2}={{h}^2}+{{( \frac{b}{2})}^2}$
$latex {{a}^2}={{h}^2}+ \frac{{{b}^2}}{4}$
$latex {{h}^2}={{a}^2}- \frac{{{b}^2}}{4}$
$latex h= \sqrt{{{a}^2}- \frac{{{b}^2}}{4}}$
Obtivemos uma expressão para a altura.
Exercícios de altura de triângulos isósceles resolvidos
Os exercícios a seguir usam a fórmula vista para encontrar a altura dos triângulos isósceles. Tente resolver os exercícios sozinho antes de olhar para a solução.
EXERCÍCIO 1
Qual é a altura de um triângulo isósceles que tem uma base de 8 m e lados congruentes de 6 m de comprimento?
Solução
Da pergunta, temos os seguintes dados:
- Base, $latex b=8$ m
- Lados, $latex a=6$ m
Portanto, usamos a fórmula de altura com estes valores:
$latex h= \sqrt{{{a}^2}- \frac{{{b}^2}}{4}}$
$latex h= \sqrt{{{6}^2}- \frac{{{8}^2}}{4}}$
$latex h= \sqrt{36- \frac{64}{4}}$
$latex h= \sqrt{36-16}$
$latex h= \sqrt{20}$
$latex h=4,47$
A altura do triângulo é 4,47 m.
EXERCÍCIO 2
Um triângulo isósceles tem uma base de 10 m e lados congruentes de 12 m de comprimento. Qual é o comprimento da sua altura?
Solução
Podemos identificar as seguintes informações:
- Base, $latex b=10$ m
- Lados, $latex a=12$ m
Substituindo esses valores na fórmula, temos:
$latex h= \sqrt{{{a}^2}- \frac{{{b}^2}}{4}}$
$latex h= \sqrt{{{12}^2}- \frac{{{10}^2}}{4}}$
$latex h= \sqrt{144- \frac{100}{4}}$
$latex h= \sqrt{144-25}$
$latex h= \sqrt{119}$
$latex h=10,91$
A altura do triângulo é de 10,91 m.
EXERCÍCIO 3
Um triângulo isósceles tem uma base de comprimento de 8 m e lados congruentes de comprimento de 9 m. Qual é o comprimento da altura?
Solução
Da pergunta, temos os seguintes valores:
- Base, $latex b=8$ m
- Lados, $latex a=9$ m
Substituindo esses valores na fórmula de altura, temos:
$latex h= \sqrt{{{a}^2}- \frac{{{b}^2}}{4}}$
$latex h= \sqrt{{{9}^2}- \frac{{{8}^2}}{4}}$
$latex h= \sqrt{81- \frac{64}{4}}$
$latex h= \sqrt{81-16}$
$latex h= \sqrt{65}$
$latex h=8,06$
A altura do triângulo é de 8,06 m.
EXERCÍCIO 4
Qual é a altura de um triângulo que tem uma base de comprimento de 14 m e lados congruentes de comprimento de 11 m?
Solução
Temos as seguintes informações:
- Base, $latex b=14$ m
- Lados, $latex a=11$ m
Portanto, usamos a fórmula de altura com estes valores:
$latex h= \sqrt{{{a}^2}- \frac{{{b}^2}}{4}}$
$latex h= \sqrt{{{11}^2}- \frac{{{14}^2}}{4}}$
$latex h= \sqrt{121- \frac{196}{4}}$
$latex h= \sqrt{121-49}$
$latex h= \sqrt{72}$
$latex h=8,49$
A altura do triângulo é de 8,49 m.
Exercícios de altura de triângulos isósceles para resolver
Use a fórmula para a altura dos triângulos isósceles para resolver os seguintes problemas. Se precisar de ajuda, você pode consultar os exercícios resolvidos acima.
Veja também
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Jefferson Huera Guzman
Jefferson é o principal autor e administrador do Neurochispas.com. O conteúdo interativo de Matemática e Física que criei ajudou muitos alunos.
