Exercícios da regra da potência das derivadas

Começamos escrevendo a fórmula para a regra da potência:

$latex f'(x^n) = nx^{n-1}$

Neste caso, temos o expoente $latex n=4$. Então, usando a regra da potência, temos:

$$\frac{d}{dx} (x^n) = \frac{d}{dx} (x^4)$$

$$\frac{d}{dx} (x^4) = 4 \cdot x^{4-1}$$

Simplificando, temos:

$$\frac{d}{dx} (x^4) = 4 x^3$$

$$f'(x)= 4 x^3$$

Vamos resolver usando a fórmula da regra da potência das derivadas:

$latex f'(x^n) = nx^{n-1}$

Podemos identificar o expoente $latex n=3$. Assim, aplicando a regra da potência, temos:

$$\frac{d}{dx} (x^n) = \frac{d}{dx} (x^3)$$

$$\frac{d}{dx} (4x^3) = 3 \cdot (4x^{3-1})$$

Quando simplificamos a expressão, temos:

$$\frac{d}{dx} (4x^3) = 12 x^2$$

$$f'(x)= 12 x^2$$

A fórmula para a regra da potência das derivadas é:

$latex f'(x^n) = nx^{n-1}$

Neste caso, temos o expoente $latex n=8$. Aplicando a regra da potência, temos:

$$\frac{d}{dx} (x^n) = \frac{d}{dx} (7x^8)$$

$$\frac{d}{dx} (7x^8) = 8 \cdot (7x^{8-1})$$

Quando simplificamos esta expressão, temos:

$$\frac{d}{dx} (7x^8) = 56 x^7$$

$$f'(x)= 56 x^7$$

Começamos escrevendo a fórmula para a regra da potência:

$latex f'(x^n) = nx^{n-1}$

Neste caso, temos um expoente negativo $latex n=-5$. No entanto, basta aplicar a regra da potência como nos casos anteriores:

$$\frac{d}{dx} (x^n) = \frac{d}{dx} (3x^{-5})$$

$$\frac{d}{dx} (3x^{-5}) = -5 \cdot (3x^{-5-1})$$

Quando simplificamos a expressão, temos:

$$\frac{d}{dx} (3x^{-5}) = -15 x^{-6}$$

$$f'(x)= -15 x^{-6}$$

Podemos usar as leis dos expoentes para escrever da seguinte forma:

$$f'(x) = -\frac{15}{x^6}$$

Vamos usar a regra da potência das derivadas:

$latex f'(x^n) = nx^{n-1}$

Vemos que o expoente é $latex n=-6$. Então, usando a regra da potência com esta função, temos:

$$\frac{d}{dx} (x^n) = \frac{d}{dx} (-5x^{-6})$$

$$\frac{d}{dx} (-5x^{-6}) = -6 \cdot (-5x^{-6-1})$$

Quando simplificamos, temos:

$$\frac{d}{dx} (-5x^{-6}) = 30 x^{-7}$$

$$f'(x)= 30 x^{-7}$$

Podemos escrever da seguinte forma para simplificar:

$$f'(x) = \frac{30}{x^7}$$

A fórmula da regra da potência é:

$latex f'(x^n) = nx^{n-1}$

Neste caso, temos uma variável no denominador. Assim, podemos usar as leis dos expoentes para escrever da seguinte forma:

$latex f(x)=x^{-5}$

Assim, vemos que temos o expoente $latex n=-5$. Usando a regra da potência, temos:

$$\frac{d}{dx} (x^n) = \frac{d}{dx} (x^{-5})$$

$$\frac{d}{dx} (x^{-5}) = -5 \cdot x^{-5-1}$$

Simplificando, temos:

$$\frac{d}{dx} (x^{-5}) = -5 x^{-6}$$

$$f'(x)= -5 x^{-6}$$

Usamos as leis dos expoentes novamente para escrever da seguinte forma:

$$f'(x) = -\frac{5}{x^6}$$

Começamos escrevendo a fórmula para a regra da potência:

$latex f'(x^n) = nx^{n-1}$

Usamos as leis dos expoentes para escrever assim:

$latex f(x)=\frac{2}{3} x^{-2}$

Agora, temos o expoente $latex n=-2$. Usando a regra da potência, temos:

$$\frac{d}{dx} (x^n) = \frac{d}{dx} (\frac{2}{3} x^{-2})$$

$$\frac{d}{dx} (\frac{2}{3} x^{-2}) = -2 \cdot (\frac{2}{3} x^{-2-1})$$

Simplificando, temos:

$$\frac{d}{dx} (\frac{2}{3} x^{-2}) = -\frac{4}{3} x^{-3}$$

$$f'(x)= -\frac{4}{3} x^{-3}$$

Por fim, podemos escrever da seguinte forma:

$$f'(x)= -\frac{4}{3x^3}$$

A regra de potência é:

$latex f'(x^n) = nx^{n-1}$

Neste caso, temos o expoente $latex n=\frac{1}{3}$. Quando usamos a regra da potência, temos:

$$\frac{d}{dx} (x^n) = \frac{d}{dx} (x^{\frac{1}{3}})$$

$$\frac{d}{dx} (x^{\frac{1}{3}}) = \frac{1}{3} \cdot (x^{\frac{1}{3}-1})$$

Simplificando, temos:

$$\frac{d}{dx} (x^{\frac{1}{3}}) = \frac{1}{3} x^{-\frac{2}{3}}$$

$$f'(x)= \frac{1}{3} x^{-\frac{2}{3}}$$

Usando as leis dos expoentes, podemos escrever da seguinte forma:

$$f'(x)= \frac{1}{3 x^{\frac{2}{3}}}$$

$$f'(x)= \frac{1}{3 \sqrt[3]{x^2}}$$

Temos a seguinte regra:

$latex f'(x^n) = nx^{n-1}$

Podemos usar as leis dos expoentes para reescrever o radical:

$$ \sqrt{x}=x^{\frac{1}{2}}$$

Agora, vemos que o expoente é $latex n = \frac{1}{2}$. Então, usando a regra da potência na função, temos:

$$\frac{d}{dx} (x^n) = \frac{d}{dx} (x^{\frac{1}{2}})$$

$$\frac{d}{dx} (x^{\frac{1}{2}}) = \frac{1}{2} \cdot ( x^{\frac{1}{2}-1})$$

Simplificando, temos:

$$f'(x) = \frac{1}{2} x^{-\frac{1}{2}}$$

Usando as leis dos expoentes, escrevemos da seguinte forma:

$$f'(x) = \frac{1}{2x^{\frac{1}{2}}}$$

$$f'(x) = \frac{1}{2\sqrt{x}}$$

Temos a seguinte regra:

$latex f'(x^n) = nx^{n-1}$

Usamos as leis dos expoentes para escrever a função assim:

$$ \frac{1}{\sqrt{x}}=x^{-\frac{1}{2}}$$

O expoente da função é $latex n = -\frac{1}{2}$. Então, aplicando a regra da potência na função, temos:

$$\frac{d}{dx} (x^n) = \frac{d}{dx} (x^{-\frac{1}{2}})$$

$$\frac{d}{dx} (x^{-\frac{1}{2}}) = -\frac{1}{2} \cdot ( x^{-\frac{1}{2}-1})$$

Simplificando, temos:

$$f'(x) = -\frac{1}{2} x^{-\frac{3}{2}}$$

Podemos usar as leis dos expoentes novamente para escrever:

$$f'(x) = -\frac{1}{2x^{\frac{3}{2}}}$$

$$f'(x) = -\frac{1}{2\sqrt{x^3}}$$