Método de Newton-Raphson – Exercícios resolvidos

Seguimos estes passos para aplicar o método Newton-Raphson:

1) Definir a função, neste exemplo, temos: $latex f(x)=x^2-2x+1$

2) Encontrar a derivada desta função: $latex f^{\prime}(x)= 3x^2-2$

3) Escolha o ponto de partida, no nosso exemplo este valor é considerado se segue: $latex x_{0}=-1,5 $

4) Avalie a função e a sua derivada em x₀: $latex f(x_{0})= 0,625$; $latex ~f^{\prime}(x_{0})= 4,75$

5) Aplicar a fórmula iterativa de Newton-Raphson para encontrar uma primeira estimativa:

$$ x_{1}=x_{0}-\frac{f(x_{0})}{f^{\prime}(x_{0})}$$

$$x_{1}= -1, 6316 $$

6) Repetir os passos 4) e 5) até a estimativa corresponder ao número desejado de casas decimais:

$latex f(x_{1})= -8,0187×10^{-2}~~$ $latex ~~ f^{\prime}(x_{1})= 5, 9861$

$$ x_{2}=x_{1}-\frac{f(x_{1})}{f^{\prime}(x_{1})}~~~~ x_{2}= -1, 6182 $$

$latex f(x_{2})= -8, 7589×10^{-4} ~~$ $latex ~~ f^{\prime}(x_{2})= 5, 8556$

$$ x_{3}=x_{2}-\frac{f(x_{2})}{f^{\prime}(x_{2})}~~~~ x_{3}= -1, 618$$

7) Neste exemplo, só foi necessário fazer 3 iterações, uma vez que as três casas decimais foram repetidas entre a segunda e a terceira iteração.

O valor para a raiz é tomado como o valor da última iteração: Solução: $latex x=-1,618$.

A função cujos zeros (ou raízes) devem ser encontrados é definida. A sua derivada é também calculada.

$$f(x)=ln(x)-2$$

$$ f^{\prime}(x)= \frac{1}{x} $$

A função é analisada para obter um valor inicial. Por exemplo, note-se que $latex f(7)=-0,054$ e $latex f(8)=+0,079$, o que nos diz que a raiz está entre 7 e 8.

Tomaremos como valor inicial 8, $latex x_{0}=8$:

$latex f(x_{0})= 7,9442×10^{-2}~~$ $latex ~~ f^{\prime}(x_{0})= 0,125$

$$ x_{1}=x_{0}-\frac{f(x_{0}}{f^{\prime}(x_{0})} ~~~~ x_{1}= 7, 3645$$

$latex f(x_{1})= -3, 3332×10^{-3}~~$ $latex ~~ f^{\prime}(x_{1})= 0,13579$

$$ x_{2}=x_{1}-\frac{f(x_{1}}{f^{\prime}(x_{1})} ~~~~ x_{2}= 7, 389$$

$latex f(x_{2})= -5, 5429×10^{-6}~~$ $latex ~~ f^{\prime}(x_{2})= 0,13534$

$$ x_{3}=x_{2}-\frac{f(x_{2}}{f^{\prime}(x_{2})} ~~~~ x_{3}= 7, 3891$$

Concluímos que a solução da equação ln(x)=2 é x=7,389 para as três casas decimais mais próximas.

A equação dada é equivalente a:

$$ x^x – 5 = 0 $$

Definimos a função f: $latex f(x)= x^x – 5 $

Uma vez que se trata de uma equação não linear, é necessário encontrar a solução através de um método numérico, tal como o método de Newton-Raphson.

Para aplicar este método, é necessário calcular a derivada da função f(x), que chamaremos f‘(x):

$$ f'(x) = x^x (ln(x) +1) $$

Se $latex x_i $ é um valor próximo da raiz, um valor ainda mais próximo é: $latex x_{i+1} = x_i – \frac{f(x_i)}{f'(x_i)}$.

Se repetirmos o processo com o novo valor obtido, teremos um valor ainda mais próximo da raiz. Se repetirmos sucessivamente, podemos ter uma solução precisa.

Neste exemplo, tomaremos como ponto de partida o valor $latex x_0 = 2$ e como mostra a tabela seguinte, com apenas quatro iterações o valor de x é encontrado, com uma precisão de 6 casas decimais:

$latex |x_{4}-x_{3}|=0,0000001131$

A interpretação geométrica é a seguinte:

No gráfico da função $latex y=f(x)$, toma-se o valor $latex x=x_i$, e obtém-se seu correspondente valor $latex y_i = f(x_i)$. Isso representa um ponto P de coordenadas $latex (x_i, f(x_i))$ na curva da função $latex f(x)$.

Se a reta tangente à curva for traçada através desse ponto, então essa reta intersecta o eixo x no ponto $latex x_{i+1}$.

Lembrando que o declive da reta tangente à curva da função $latex f(x)$ é sua derivada $latex f'(x)$, então o declive da tangente no ponto P é $latex f'( x_i)$.

Mas o declive é também a tangente do ângulo de inclinação da reta no ponto de intersecção com o eixo x, calculado da seguinte forma:

$$ f'(x_i) = \frac{f(x_i)-0}{x_i – x_{i+1}}$$

Se isolarmos $latex x_{i+1} $ da equação acima, então obtemos a fórmula para o método de Newton-Raphson:

$$ x_{i+1} = x_i – \frac{f(x_i)}{f'(x_i)}$$

1.- Esta é uma equação não-linear que não tem uma solução analítica exata.

2.- Definimos a função $latex f(x) = cos(x) – x^2 $. Os zeros desta função são os valores de x que satisfazem $latex f(x)=0$ e são as soluções para a equação original.

3.- Esboçando um gráfico da função $latex f(x)$, temos:

4.- Pelo gráfico, vemos que a função tem duas raízes, uma próxima do valor x=-1 e a outra do valor x=+1.

5.- Para determinar com mais precisão o valor das raízes da função f(x), utiliza-se o método de Newton-Raphson. Este método requer a derivada de $latex f^{\prime}(x)$, a qual é $latex f^{\prime}(x) = -\sin(x)-2x$.

6.- O método também requer que seja fornecido um valor inicial x₀, tal que $latex f'(x_0) \neq 0$ e que seja o mais próximo possível do valor verdadeiro da raiz.

7.- Para encontrar a primeira raiz, tomamos como ponto de partida x₀ = -1. Aplicamos recursivamente a fórmula do método, partindo de i=0 até i=4. Os resultados são mostrados abaixo:

O valor da primeira raiz é: $latex x_{r1} = -0,824132312$ onde as primeiras oito casas decimais são exatas e a nona é estimada.

8.- Se $latex x_{0} = +1$ é tomado como ponto de partida, o método Newton-Raphson, após quatro iterações, dá a segunda raiz: $latex x_{r2} = +0,824132312$, um resultado que poderia ter sido esperado devido à simetria da função f(x).

É conveniente traçar o gráfico da função para se ter uma ideia da localização das raízes. Uma das raízes é positiva (perto de +0,5) e a outra é negativa (perto de -1,5).

O método Newton-Raphson requer o cálculo da derivada de f(x):

$$ f'(x) = 1 – tgh^2(x) +2x $$

Começando com o valor inicial $latex x_{0} = 0$, em cinco iterações da fórmula $latex x_{i+1} = x_i – \frac{f(x_i)}{f'(x_i)}$, o valor da raiz positiva é obtido com oito casas decimais de precisão:

A raiz positiva da função dada é: 0,65295190.

Para obter a raiz negativa, partimos de um valor próximo do mesmo, $latex x_{0}=-1,5$.

A raiz negativa da função dada é: -1,3707713181, com uma precisão de dez casas decimais.

1.- Começamos por esboçar o gráfico de $latex e^x$ e $latex 2-x^2$. Os pontos de intercepção em x são as soluções gráficas para o problema.

Existem dois intercepção x, que correspondem às soluções da equação dada. Um deles tem um valor de coordenada x próximo de -1,5 e o outro, um valor de coordenada x próximo de +0,5.

3.- Para aplicar o método Newton-Rapson, definimos a função:

$$ f(x) = e^{x} -2 + x^2 $$

os valores onde $latex f(x)=0$ serão as soluções para a equação dada.

4.- Encontrar a derivada de f(x):

$$ f'(x) = e^{x} + 2x $$

5.- Para encontrar a primeira raiz de f(x), tomamos como ponto de partida do método o valor $latex x_{0}=-1,5$.

6.- Aplicamos a fórmula de Newton Raphson sucessivamente até se atingir a precisão desejada:

$latex x_{i+1} = x_i – \frac{f(x_i)}{f'(x_i)}$, começando com o valor inicial, $latex x_{0}$ para obter $latex x_{1}$. Então com $latex x_{1}$ para obter $latex x_{2}$. É repetido até que a diferença entre o último valor menos o anterior tenha um valor absoluto menor ou igual a 0,00001

Os resultados numéricos são mostrados abaixo:

obter o valor da primeira solução: x=-1,31597

8.- A segunda solução da equação está próxima de +0,5, pelo que será utilizada como valor inicial para obter a solução com a precisão requerida de pelo menos quatro casas decimais.

9.- Uma vez que começamos com um valor bastante próximo da raiz exata, obtivemos um resultado com uma precisão de três casas decimais em apenas duas iterações:

A segunda solução para a equação dada é: x=+0,53727

A equação a resolver é $latex \sqrt[6]2 =x $ que é equivalente a:

$latex x^6 -2 =0$ con x>0.

Então, definimos $latex f(x) = x^6-2$ cuja derivada é $latex f^{\prime}(x)=6x^5 $.

Aplicando iterativamente a fórmula para o método de Newton-Raphson $latex x_{i+1} = x_i – \frac{f(x_i)}{f'(x_i)}$ e partindo de $latex x_{0}=1$, obtemos:

Portanto:

$$ \sqrt[6]2=1,12246$$

A equação a resolver é $latex \sqrt[4]2 =x $ que é equivalente a:

$latex x^4 -2 =0$ com x>0.

Então, definimos $latex f(x) = x^4-2$ cuja derivada é $latex f'(x)=4x^3 $.

Aplicando iterativamente a fórmula para o método de Newton-Raphson $latex x_{i+1} = x_i – \frac{f(x_i)}{f'(x_i)}$ e partindo de $latex x_{0}=1$, obtemos:

Portanto:

$$\sqrt {\sqrt 2}= 1,18920$$

A equação a ser resolvida é: $latex ln(13)=x $

Tomando a função exponencial com base e em ambos os lados, temos $latex e^x=13 $.

Agora, definimos a função $latex f(x)= e^x – 13$.

A derivada de f é: $latex f'(x)=e^x$.

Iniciamos o processo iterativo com a fórmula $latex x_{i+1} = x_i – \frac{f(x_i)}{f'(x_i)}$, com o valor inicial $latex x_{0} = 2$, obtendo os seguintes valores:

Como resultado final, temos:

$$ln(13) = 2,5649$$