Uma integral dupla é um conceito matemático para encontrar o volume ou área de um objeto tridimensional, ou região no plano. As integrais duplas podem ser expressas em coordenadas retangulares ou polares e podem ser avaliadas utilizando uma variedade de técnicas.
Neste artigo, daremos uma visão geral das integrais duplas e mostraremos como avaliá-las usando exemplos. Além disso, analisaremos alguns problemas práticos.
Como resolver integrais duplas?
Para encontrar uma integral dupla, devemos primeiro identificar uma região no plano sobre a qual pretendemos integrar. Esta região pode ser definida por desigualdades ou por traçar uma curva limite.
Recordemos que a integral de uma função representa a área sob a curva. No caso de integrais duplas, a integral é o volume sob uma superfície:
$$\int \int_{R} f(x, y)dA$$
Aqui, R é a região sobre a qual integramos e $latex dA $ é o elemento de área, uma versão infinitesimal de $latex \delta A$.
$latex dA$ depende das coordenadas. Em coordenadas cartesianas, temos:
Vemos claramente que $latex \delta A=\delta x \delta y$, então, temos $latex dA=dxdy$.
Por conseguinte, esta integral é avaliada como:
$$\int \int_{R} f(x, y)dA= \int \int_{R} f(x, y)dxdy$$
Agora, suponha que a região de integração R seja um retângulo definido por $latex a\leq x \leq b$ e $latex c\leq y \leq d$. Assim, a integral é:
$$\int \int_{R} f(x, y)dxdy= \int_{y=c}^{d} \left(\int_{x=a}^{b} f(x, y)dx \right)dy$$
Primeiro, calculamos a integral interna e depois a integral externa. Neste caso, a integral interna é em relação a $latex x$.
No entanto, a ordem de integração não importa, pois podemos calcular a integral em relação a $latex y$ primeiro.
Integrais duplas – Exercícios com respostas
EXERCÍCIO 1
Na integral dupla seguinte, indicar a região $latex R$ de integração e encontrar o seu valor:
$$\int_{0}^{2} \int_{0}^{1}(1+2x+2y)dy dx$$
Solução
A região de integração é um retângulo com vértices: $latex (0,0)$, $latex (2,0)$, $latex (0,1)$ e $latex (2,1)$.
Agora, para resolver a integral, começamos com a mais interna, que neste caso, é a correspondente à variável $latex y$:
$$\int_{0}^{2} \int_{0}^{1}(1+2x+2y)dy dx=\int_{0}^{2}\left[ \int_{0}^{1}(1+2x+2y)dy \right]dx$$
Portanto, a seguinte integral simples é calculada em relação a $latex y$, tratando a variável $latex x$ como se fosse constante:
$$\int_{0}^{1}(1+2x+2y)dy=\int_{0}^{1}dy+2x\int_{0}^{1}dy+2\int_{0}^{1}ydy$$
$$=y\Big|_{0}^{1}+2xy\Big|_{0}^{1}+y^2\Big|_{0}^{1}$$
$$=(1-0)+2x(1-0)+(1^2-0^2)$$
$$=1+2x+1=2+2x$$
O resultado obtido é substituído entre os parênteses da integral dada no início:
$$\int_{0}^{2}\left[ \int_{0}^{1}(1+2x+2y)dy \right]dx=\int_{0}^{2}(2+2x)dx$$
E a integral resultante é resolvida com respeito à variável $latex x$:
$$\int_{0}^{2}(2+2x)dx=2\int_{0}^{2}dx+2\int_{0}^{2}xdx$$
$$2x\Big|_{0}^{2}+x^2\Big|_{0}^{2}=2(2-0)+(2^2-0^2)$$
$$=4+4=8$$
EXERCÍCIO 2
Calcular a integral dupla:
$$\iint(1+6xy^2)dxdy$$
Na região plana que consiste no rectângulo dado por: $latex R=[0,2] \times [-1,1]$.
Solução
A integral deve ser calculada sobre os limites dados por $latex R$, escolhendo uma determinada ordem (teorema de Fubini), uma vez que a função é contínua na região de integração.
Uma vez que a região dada é um retângulo, a variável $latex x$ vai de $latex 0$ a $latex 2$, enquanto a variável $latex y$ vai de $latex -1$ a $latex 1$.
Começando a integrar a variável $latex y$, temos:
$$\int_{0}^{2}\left [ \int_{-1}^{1}(1+6xy^{2})dy \right ]dx$$
Primeiro, resolve-se a integral entre parênteses, onde a variável de integração é $latex y$, enquanto $latex x$ é mantida constante:
$$\int_{-1}^{1}(1+6xy^{2})dy =\int_{-1}^{1}dy+6x\int_{-1}^{1} y^{2}dy $$
$$=y\Big|_{-1}^{1}+6x\left(\dfrac{y^3}{3}\right)\Big|_{-1}^{1}$$
$$=[1-(-1)]+6x\left[\dfrac{1^3}{3}-\dfrac{(-1)^3}{3}\right]$$
$$=2+4x$$
Este resultado é agora substituído na integral dada no início, e integrada com respeito à variável $latex x$:
$$\int_{0}^{2}\left [ \int_{-1}^{1}(1+6xy^{2})dy \right ]dx=\int_{0}^{2}(2+4x)dx$$
$$=\int_{0}^{2}2dx+\int_{0}^{2}4xdx$$
$$=2x\Big|_{0}^{2}+4\left(\dfrac{x^2}{2}\right)\Big|_{0}^{2}$$
$$=2(2-0)+4\left(\dfrac{2^2}{2}-\dfrac{0^2}{2}\right)$$
$$=4+8=12$$
EXERCÍCIO 3
Resolver a seguinte integral dupla:
$$\int_0^3\int_{4x/3}^{\sqrt{25-x^2}}xdydx$$
Solução
A região de integração é a região entre a reta $latex y=\dfrac{4x}{3}$ e o círculo $latex x^2+y^2=25$, conforme mostra a figura:
Nessa região, a interseção entre as duas curvas é o ponto $latex P(3,4)$ e, ao estabelecer a integral, é primeiro integrada em relação à variável $latex y$, que vai da reta $latex y = \dfrac{4x}{3}$ até a circunferência $latex +\sqrt{25-x^2}$, a variável $latex x$ permanece constante:
$$\int_0^3\int_{4x/3}^{\sqrt{25-x^2}}xdydx=\int_0^3x\left[\int_{4x/3}^{\sqrt{25-x^2}}dy\right]dx$$
A integral entre parênteses é:
$$\int_{4x/3}^{\sqrt{25-x^2}}dy=\int_{4x/3}^{\sqrt{25-x^2}}dy=$$
$$=y\Big|_{4x/3}^{\sqrt{25-x^2}}=\sqrt{25-x^2}-\dfrac{4x}{3}$$
Este resultado é então substituído na integral original:
$$\int_0^3x\left[\int_{4x/3}^{\sqrt{25-x^2}}dy\right]dx=\int_0^3x\left[\sqrt{25-x^2}-\dfrac{4x}{3}\right]dx$$
$$=\int_0^3x\sqrt{25-x^2}dx-\int_0^3\dfrac{4x^2}{3}dx= I_1-I_2$$
Cálculo de $latex I_1$.
A integral $latex I_1$ é resolvida por uma mudança de variável:
- $latex u = 25-x^2$
- $latex du =-2xdx$
$$I_1 =\displaystyle\int_0^3x\sqrt{25-x^2}dx$$
$$=-\dfrac{1}{2}\displaystyle\int_{25}^{16} \sqrt{u}du$$
$$=\left(-\dfrac{1}{2}\right)\dfrac{u^\frac{3}{2}}{\frac{3}{2}}\Big|_{25}^{16}$$
$$=-\left(\dfrac{1}{3}\right){u^\frac{3}{2}}\Big|_{25}^{16}$$
$$=-\left(\dfrac{1}{3}\right)\left(\sqrt{16^3}-\sqrt{25^3}\right)=\dfrac{61}{3}$$
Cálculo de $latex I_2$.
$$\displaystyle \int_0^3\dfrac{4x^2}{3}dx= \left(\dfrac{4}{3}\right)\dfrac {x^3}{3}\Big|_0^3=12$$
Portanto:
$$\int_0^3\int_{4x/3}^{\sqrt{25-x^2}}xdydx=\dfrac{61}{3}-12=\dfrac{25}{3}$$
EXERCÍCIO 4
Na integral do exemplo 3, alterar a ordem de integração e indicar a integral resultante.
Solução
Neste caso, a região de integração seria dividida em duas partes, a primeira é um triângulo cujos vértices são $latex (0,0)$, $latex (0,4)$ e $latex (3,4)$, enquanto a segunda é o sector acima do segmento negro, o eixo y, e a circunferência, como mostra o gráfico:
Portanto, uma integral para cada região deve ser proposta e, em seguida, os respectivos resultados devem ser adicionados.
Primeiro integramos sobre a variável $latex x$, que vai de $latex x=0$ até a reta $latex x =\dfrac{3y}{4}$, enquanto a variável $latex y$ iria de $latex y=0$ até $latex y=4$.
Então, temos que somar a região que vai de $latex x = 0$ até a circunferência $latex x=\sqrt {25-y^2}$, na qual $latex y$ vária de $latex y=4$ até $látex y=$5:
$$\int_0^3\int_{4x/3}^{\sqrt{25-x^2}}xdydx=\int_0^4\left[\int_{0}^{\frac{3y}{4}}xdx\right]dy+\int_4^5\left[\int_{0}^{\sqrt {25-y^2}}xdx\right]dy$$
EXERCÍCIO 5
Resolver as integrais no exemplo 4 e comparar com o resultado obtido no exemplo 3.
Solução
$$\int_0^3\int_{4x/3}^{\sqrt{25-x^2}}xdydx=\int_0^4\left[\int_{0}^{\frac{3y}{4}}xdx\right]dy+\int_4^5\left[\int_{0}^{\sqrt {25-y^2}}xdx\right]dy=$$
$$=I_1+I_2$$
Cálculo de $latex I_1$.
$$\displaystyle \int_0^4\left[\int_{0}^{\frac{3y}{4}}xdx\right]dy=\int_0^4\left[\dfrac{x^2}{2}\right]_0^{\frac{3y}{4}}dy$$
$$=\displaystyle\int_0^4\dfrac{9y^2}{32}dy=\left(\dfrac{3}{32}\right)y^3\Big|_0^4=6$$
Cálculo de $latex I_2$.
$$\displaystyle\int_4^5\left[\int_{0}^{\sqrt {25-y^2}}xdx\right]dy=\int_4^5\dfrac{x^2}{2}\Big|_0^{\sqrt {25-y^2}}dy$$
$$=\dfrac{1}{2}\int_4^5 (25-y^2)dy=$$
$$=\dfrac{1}{2}\left[25y\Big|_4^5-\dfrac{y^3}{3}\Big|_4^5\right]$$
$$=\dfrac{1}{2}\left(25-\dfrac{61}{3}\right)=\dfrac{7}{3}$$
Portanto:
$$\int_0^3\int_{4x/3}^{\sqrt{25-x^2}}xdydx=6+\dfrac{7}{3}=\dfrac{25}{3}$$
Este resultado é o mesmo que o obtido no exemplo 3, como esperado.
EXERCÍCIO 6
Resolver o seguinte:
$$\int\int_R xdA$$
Onde $latex R$ é a região entre $latex y=2x$ e $latex y=x^2$.
Solução
Para resolver a integral proposta, é necessário identificar $latex R$, mostrado na figura à esquerda.
Esta é a região sombreada entre a recta $latex y=2x$ e a parábola $latex y=x^2$.
Uma forma de calcular a integral é realizar uma varredura vertical. Desta forma, a função varia da parábola $latex y=x^2$ à recta $latex y=2x$, enquanto a variável $latex x$ vária de $latex x=0$ até $latex x=2$.
Nesse caso, temos:
$$\int\int_R xdA=\int_0^2 x\left[\int_{x^2}^{2x}dy\right]dx$$
A integral é então resolvida entre parênteses:
$$\int_{x^2}^{2x}dy=y\Big|_{x^2}^{2x}=2x-x^2$$
O resultado é então substituído e integrado em relação a $latex x$:
$$\int_0^2 x(2x-x^2)dx=\int_0^2 (2x^2-x^3)dx$$
$$=\int_0^2 2x^2dx-\int_0^2x^3dx$$
$$=\dfrac{2x^3}{3}\Big|_0^2-\dfrac{x^4}{4}\Big|_0^2$$
$$\left(\dfrac{2\cdot 2^3}{3}-\dfrac{2\cdot 0^3}{3}\right)-\left(\dfrac{2^4}{4}-\dfrac{0^4}{4}\right)$$
$$=\dfrac{16}{3}-4=\dfrac{4}{3}$$
A integral também pode ser calculada fazendo uma varredura horizontal, caso em que é primeiro integrada sobre a variável $latex y$, que varia entre $latex \dfrac{y}{2}$ e $latex \sqrt{y}$, enquanto $latex y$ varia entre $latex y=0$ até $latex y=4$.
É deixado como um exercício para o leitor verificar se o resultado é o mesmo.
EXERCÍCIO 7
Resolver o seguinte:
$$ \iint \limits_{R} x^{2}dx dy $$
Onde R é a região entre o eixo x e a parábola $latex 4-x^{2}$ no intervalo $latex x\in [-2,2]$.
Solução
A região de integração é mostrada na figura acima.
Para resolver a integral, é feita uma varredura na variável $latex y$, que vai do eixo x até a parábola.
$$ \displaystyle\iint \limits_{R} x^{2}dx dy=\int_{-2}^{2}x^{2}\left[ \int_{0}^{-x^{2}+4}dy\right] dx$$
A integral entre parênteses resulta:
$$\displaystyle\int_{0}^{-x^{2}+4}dy = 4-x^{2}$$
É então substituído na integral original:
$$\displaystyle \int_{-2}^{2}x^{2}\left( 4-x^{2}\right) dx=\int_{-2}^{2}4x^{2}dx-\int_{-2}^{2}x^{4} dx$$
$$= \frac{4}{3} x^{3}\Big|_{-2}^{+2}-\frac{1}{5}x^{5} \Big|_{-2}^{+2}=\frac{128}{15}$$
EXERCÍCIO 8
Encontrar o volume do sólido no primeiro octante, sobre uma base retangular, delimitada por:
i) O plano de coordenadas
ii) O plano x = 3
iii) O cilindro parabólico $latex z = 4 -y^2$
Solução
O volume do sólido é a integral sob $latex z=f(x,y)$, com as paredes dadas pelos planos $latex y=0$, $latex z=0$ e $latex x=3$.
O primeiro passo é determinar as intersecções de $latex f(x,y)=4-y^2$ com os eixos coordenados, a fim de encontrar os limites de integração.
Intersecção de $latex f(x,y)$ com eixo z
Tomando $latex y = 0$, temos: $latex z =4-0^2=4$
Portanto, a intersecção do cilindro parabólico com o eixo z é o ponto $latex (0,0,4)$.
Intersecção de $latex f(x,y)$ com o eixo y
Tomando $latex z= 0$, temos:
$latex 4-y^2=0\Rightarrow y =2$
A raiz positiva é tomada desde que se procura a intersecção com o eixo y positivo, o ponto $latex (0,2,0)$.
O plano $latex y=0$ limita o sólido, pois está no primeiro octante, conforme o enunciado, portanto, a base do sólido é um retângulo de dimensões $latex x=3$ e $latex y = 2$, enquanto as duas paredes restantes são dadas pelos planos $latex x=0$ e $latex x=3$.
O sólido resultante é mostrado na figura abaixo:
O volume do sólido corresponde ao integral:
$$V=\int_a^b\int_c^d f(x,y)dydx$$
Onde $latex y$ varia entre $latex 0$ e $latex 2$, enquanto $latex x$ varia entre $latex 0$ e $latex 3$, portanto:
$$V=\int_0^3\left[\int_0^2 (4 -y^2)dy\right]dx$$
Em primeiro lugar, calcula-se a integral interior:
$$\int_0^2 (4 -y^2)dy=\int_0^2 4dy-\int_0^2 y^2dy$$
$$4y\Big|_0^2-\dfrac{y^3}{3}\Big|_0^2$$
$$=8-\dfrac{8}{3}=\dfrac{16}{3}$$
O resultado é substituído na integral de volume:
$$V=\int_0^3\left(\dfrac{16}{3}\right) dx$$
$$=\dfrac{16}{3}\int_0^3dx=\left(\dfrac{16}{3}\right)x\Big|_0^3=16$$
EXERCÍCIO 9
Encontrar a integral:
$$ \displaystyle \iint \limits_{R} x \; y \; dx dy $$
Tendo o seguinte:
$latex R = \{ (x,y) \in \mathbb{R}^{2} / \; 4-2x \leq y \leq 4-x^{2} \} $
Solução
A integral pode ser resolvida realizando primeiro uma varredura vertical, o que significa que a integral mais interna é realizada na variável $latex y$.
A partir do gráfico mostrado, a variável $latex y$ vai da reta $latex y =4-2x$ até a parábola $latex 4-x^{2}$. As interseções de ambas as curvas podem ser vistas no gráfico, são os pontos $latex (0,4)$ e $latex (2,0)$, portanto, a variável $latex x$ vai de $latex x= 0$ , para $latex x = 4$:
$$ \displaystyle \iint \limits_{R} x \; y \; dx dy=$$
$$=\displaystyle\int_{0}^{2} \left[\int_{4-2x}^{4-x^{2}} x \; y \; dy \right]dx$$
$$=\int_{0}^{2} \left[ \; x \int_{4-2x}^{4-x^{2}} y dy \;\right] dx $$
A integral entre parênteses é:
$$\left[ \; x \displaystyle\int_{4-2x}^{4-x^{2}} ydy \; \right]= \dfrac{1}{2}x^{2} ( x-2 ) ^{2} ( x+4 ) $$
E substituindo este resultado na integral correspondente à variável $latex x$, obtemos:
$$\displaystyle\int_{0}^{2}\left[\;\dfrac{1}{2}x^{2}( x-2) ^{2} ( x+4) \;\right]dx=\int_{0}^{2} \left( \dfrac{1}{2}x^{5}-6x^{3}+8x^{2} \right) dx$$
$$=\left[\dfrac{x^6}{12}-\dfrac{6x^4}{4}+\dfrac{8x^3}{3}\right]_0^2=\frac{8}{3}$$
EXERCÍCIO 10
Calcular o volume do sólido delimitado pelas superfícies $latex z=4-x^2-2y^2$ e o plano $latex z=2$.
Solução
O volume a ser calculado está abaixo do paraboloide e acima do plano $latex z=2$, como mostra a figura acima. É dado pela integral dupla:
$$V=\displaystyle\iint_R \left[f(x,y)-g(x,y)\right ]dxdy$$
Onde R é a superfície projetada sobre o plano $latex xy$. No exemplo:
- $latex f(x,y) =4-x^2-2y^2$
- $latex g(x,y) =2$
Portanto:
$$V=\displaystyle\iint_R \left[(4-x^2-2y^2)-2\right]dxdy$$
Agora temos de encontrar a região de integração $latex R$, delimitada pela curva resultante da intersecção das superfícies. Isto é obtido igualando $latex f(x,y)=g(x,y)$:
$$4-x^2-2y^2=2$$
$$\Rightarrow -x^2-2y^2=-2= x^2+2y^2=2$$
Dividindo por $latex 2$:
$$\dfrac{x^2}{2}+\dfrac{y^2}{1}=1$$
A curva de intersecção é uma elipse.
As interseções da referida elipse com o eixo $latex x$ são $latex (-\sqrt{2},0)$ e $latex (\sqrt{2},0)$.
Pode ser feita uma varredura sobre a variável y no primeiro quadrante para que o volume tenha este aspecto:
$$V=\displaystyle 4\int_ {0}^{\sqrt{2}}\int_ {0}^{\sqrt{1-\frac{x^2}{2}}}\left[(4-x^2-2y^2)-2\right]dxdy=$$
$$=\displaystyle 4\int_ {0}^{\sqrt{2}}\left[\int_ {0}^{\sqrt{1-\frac{x^2}{2}}}(2-x^2-2y^2) dy\right]dx$$
A integral entre parênteses retos é:
$$\displaystyle \int_ {0}^{\sqrt{1-\frac{x^2}{2}}}(2-x^2-2y^2) dy=$$
$$= (2-x^2)\int_ {0}^{\sqrt{1-\frac{x^2}{2}}}dy-2\int_ {0}^{\sqrt{1-\frac{x^2}{2}}}y^2dy$$
$$=(2-x^2)\left(\sqrt{1-\frac{x^2}{2}}\right)-\dfrac{2}{3}\sqrt{\left(1-\frac{x^2}{2}\right)^3}$$
$$=\dfrac{(2-x^2)}{\sqrt 2}\sqrt{2-x^2}-\dfrac{2}{6\sqrt2}\sqrt{\left(2-x^2\right)^3}$$
$$=\dfrac{1}{\sqrt2}\sqrt{\left(2-x^2\right)^3}-\dfrac{2}{6\sqrt2}\sqrt{\left(2-x^2\right)^3}$$
$$=\left(\dfrac{1}{\sqrt2}-\dfrac{1}{3\sqrt2}\right)\sqrt{\left(2-x^2\right)^3}$$
$$=\dfrac{2}{3\sqrt2}\sqrt{\left(2-x^2\right)^3}$$
O resultado é substituído na integral do volume:
$$V=\displaystyle 4\int_ {0}^{\sqrt{2}}\dfrac{2}{3\sqrt2}\sqrt{\left(2-x^2\right)^3}dx$$
Esta integral é resolvida através de substituição trigonométrica:
- $latex x=\sqrt{2}\sin u$
- $latex dx=\sqrt{2}\cos u du$
Os novos limites de integração são calculados da seguinte forma:
Para $latex {x =0}$
$latex \sqrt{2}\sin u=0\Rightarrow \sin u=0\Rightarrow u = 0$
Para $latex {x =\sqrt{2}}$
$latex \sqrt{2}\sin u=\sqrt{2}\Rightarrow \sin u=1\Rightarrow u = \dfrac{\pi}{2}$
$$V=\displaystyle\dfrac{8}{3\sqrt2} \int_ {0}^{\frac{\pi}{2}}\sqrt{\left(2-2\sin^2u\right)^3}\sqrt{2}\cos u du=$$
$$=\displaystyle\dfrac{16\sqrt2}{3} \int_ {0}^{\frac{\pi}{2}}\sqrt{\left(1-\sin^2u\right)^3}\cos u du=\dfrac{16\sqrt2}{3} \int_ {0}^{\frac{\pi}{2}}\cos^4 u du$$
Usando:
$$\displaystyle\int \cos^n x dx=\dfrac{\cos^{n-1}x\sin x}{n}+\dfrac{n-1}{n}\int\cos^{n-2}dx$$
Temos:
$$\displaystyle\int \cos^4 x dx=\dfrac{\cos^{3}x\sin x}{4}+\dfrac{3}{4}\int\cos^{2}xdx$$
$$=\dfrac{\cos^{3}x\sin x}{4}+\dfrac{3}{8}(x+\cos x \sin x)+C$$
Portanto:
$$V=\dfrac{16\sqrt2}{3} \left[\dfrac{\cos^{3}u\sin u}{4}+\dfrac{3}{8}(u+\cos u \sin u)\right]_0^{\frac{\pi}{2}}$$
$$=\sqrt 2\pi$$
Integrais duplas – Problemas práticos
Encontre a integral de $latex f(x,y)=x^2-y^2$ sobre o retângulo com os limites $latex 1\leq x\leq 3$ e $latex 0\leq y\leq 2$.
Escreva a resposta na caixa.
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Jefferson Huera Guzman
Jefferson é o principal autor e administrador do Neurochispas.com. O conteúdo interativo de Matemática e Física que criei ajudou muitos alunos.
