As derivadas parciais são um conceito de cálculo multivariado que nos permite medir como uma função muda quando uma das suas variáveis vária, enquanto as outras permanecem constantes. São frequentemente utilizadas em física, engenharia e economia para modelar sistemas que envolvem múltiplas variáveis.
Neste artigo, faremos uma introdução mais detalhada as derivadas parciais, incluindo a forma de as calcular. Em seguida, analisaremos vários exemplos para praticar os conceitos.
Como encontrar derivadas parciais de funções?
Para encontrar a derivada parcial de uma função em relação a uma das suas variáveis, pode seguir estes passos:
Passo 1: Escreva a função em termos das variáveis em relação às quais deseja diferenciá-la.
Por exemplo, se você quiser encontrar a derivada parcial da função $latex f(x,y,z)$ em relação a $latex x$, você deve escrevê-la como $latex \dfrac{\partial f}{\partial x}$.
Passo 2: Tome a derivada da função em relação à variável em que está interessado. Neste caso, tomaríamos a derivada de $latex f(x,y,z)$ em relação a $latex x$.
Passo 3: Tratar as outras variáveis da função como constantes enquanto se toma a derivada. Isto significa que se pode ignorar a derivada de $latex y$ e $latex z$, e concentrar-se apenas na derivada de $latex x$.
Por exemplo, se $latex f(x,y,z) = x^2 + y^2 + z^2$, a derivada parcial de f em relação a x seria $latex 2x$, uma vez que y e z são tratadas como constantes.
É também importante notar que a derivada parcial de uma função é um conceito de cálculo multivariável, o qual é um ramo da matemática que lida com funções de múltiplas variáveis.
Derivadas parciais – Exercícios com respostas
EXERCÍCIO 1
Dada a seguinte função:
$$f(x,y)=(2x+y^{2})$$
Encontrar as derivadas parciais de primeira ordem, respeito às variáveis x e y.
Solução
A notação para a derivada parcial é semelhante à da derivada normal, excepto que, em vez da letra d, é utilizado o símbolo ∂.
Por outro lado, quando uma função é parcialmente derivada em relação a uma das suas variáveis, as outras variáveis são tomadas como se fossem constantes durante o procedimento de cálculo da derivada parcial.
Por exemplo, para tomar a derivada parcial de f(x, y) em relação a x, a variável y é tomada como se fosse uma constante:
$$\dfrac{\partial f}{\partial x}=\dfrac{\partial }{\partial x} (2x+y^{2})=\allowbreak 2 $$
Da mesma forma, ao calcular a derivada parcial de f(x, y) em relação a y, a variável x age como se fosse uma constante durante o processo de cálculo da derivada:
$$\dfrac{\partial f}{\partial y}=\dfrac{\partial }{\partial y} (2x+y^{2})=\allowbreak 2y $$
EXERCÍCIO 2
Encontrar as derivadas parciais de primeira ordem da seguinte função de duas variáveis:
$$f(x,y)=2xy^{2} $$
Solução
Para encontrar a derivada parcial em relação à variável x, a segunda variável y da função é tomada como uma constante, e procedemos como nas derivadas ordinárias.
Neste caso, $latex 2y^2$ é uma constante que sai do operador da derivada e que multiplica a derivada parcial de x em relação a x, a qual é 1:
$$\dfrac{\partial f}{\partial x}=\dfrac{\partial }{\partial x} (2xy^{2})=\allowbreak 2y^{2} $$
Do mesmo modo, para encontrar a derivada parcial em relação a y, a variável x é tomada como constante. Depois 2x sai da operação derivada em relação a y:
$$\dfrac{\partial f}{\partial y}=\dfrac{\partial }{\partial y} (2xy^{2})=\allowbreak 4xy $$
EXERCÍCIO 3
Temos a seguinte função de duas variáveis:
$$f(x,y)=\dfrac{3x}{y^{2}} $$
Encontrar a derivada parcial da função f(x, y) em relação a x e a derivada parcial de f(x, y) em relação a y.
Solução
Para calcular a derivada parcial em relação a x, y é considerado uma constante, de modo que $latex \frac{3}{y^2}$ sai do símbolo de derivação multiplicando a derivada de x em relação a x, a qual é 1.
$$\dfrac{\partial f}{\partial x}=\dfrac{\partial }{\partial x}( \dfrac{3x}{y^{2}})=\allowbreak \dfrac{3}{y^{2}} $$
Da mesma forma, para encontrar a derivada parcial em relação a y, tomamos x como constante e 3x como fator anterior ao símbolo da derivada, depois tomamos a derivada de 1 sobre y ao quadrado, a qual é -2 vezes y elevado para o menos 3.
$$\dfrac{\partial f}{\partial y}=\dfrac{\partial }{\partial y}( \dfrac{3x}{y^{2}})=\allowbreak -6\dfrac{x}{y^{3}} $$
EXERCÍCIO 4
Calcular as derivadas parciais de primeira ordem da seguinte função de duas variáveis:
$$f(x,y)=\dfrac{x^{2}-y}{x+y^{2}} $$
Solução
Para encontrar $latex \dfrac{\partial f}{\partial x}$, tomamos a variável y como uma constante. Em seguida, prossiga como uma derivada ordinária. Neste caso, foi utilizada a ‘fórmula’ para a derivada de um quociente.
$$\dfrac{\partial f}{\partial x}=\dfrac{\partial }{\partial x}\left( \dfrac{ x^{2}-y}{x+y^{2}}\right)$$
$$ =\allowbreak \dfrac{1}{\left( y^{2}+x\right) ^{2}} \left( x^{2}+2xy^{2}+y\right) $$
Da mesma forma, para encontrar $latex \dfrac{\partial f}{\partial y}$, tomamos a variável x como uma constante e aplicamos a ‘fórmula’ para a derivada de um quociente.
$$\dfrac{\partial f}{\partial y}=\dfrac{\partial }{\partial y}\left( \dfrac{ x^{2}-y}{x+y^{2}}\right)$$
$$ =\allowbreak -\dfrac{1}{\left( y^{2}+x\right) ^{2}} \left( 2x^{2}y+x-y^{2}\right) $$
EXERCÍCIO 5
Temos o seguinte:
$$ f(x,y)=\sqrt{\dfrac{x-y}{x+y}} $$
Encontre: $latex \dfrac{\partial f}{\partial x} $ e $latex \dfrac{\partial f}{\partial y} $.
Solução
Temos o seguinte:
$$\dfrac{\partial f}{\partial x}=\dfrac{\partial }{\partial x}\left( \sqrt{ \dfrac{x-y}{x+y}}\right) $$
$$=\allowbreak \dfrac{y}{\sqrt{\dfrac{x-y}{x+y}} \left( x+y\right) ^{2}} $$
Tomando x como constante, derivamos da forma habitual em relação a y.
$$\dfrac{\partial f}{\partial y}=\dfrac{\partial }{\partial y}\left( \sqrt{ \dfrac{x-y}{x+y}}\right) $$
$$=\allowbreak -\dfrac{x}{\sqrt{\dfrac{x-y}{x+y}} \left( x+y\right) ^{2}} $$
EXERCÍCIO 6
Dada a função:
$$f(x,y)=(2x^{2}+y^{3}) $$
Encontre: $latex \dfrac{\partial ^{2}f}{\partial x^{2}} $, $latex \dfrac{\partial ^{2}f}{ \partial y^{2}} $ e $latex \dfrac{\partial ^{2}f}{\partial y \partial x} $.
Solução
Uma vez que se trata de uma segunda derivada com respeito a x, a parcial com respeito a x é tomada em primeiro lugar e o resultado é derivado novamente com respeito a x.
$$\dfrac{\partial ^{2}f}{\partial x^{2}}=\dfrac{\partial ^{2}}{ \partial x^{2}}(2x^{2}+y^{3})$$
$$=\dfrac{\partial }{\partial x}\left( \dfrac{ \partial }{\partial x}(2x^{2}+y^{3})\right)$$
$$ =\dfrac{\partial }{\partial x} \left( 4x\right) =\allowbreak 4 $$
Para obter a segunda derivada com respeito a y, primeiro toma-se a parcial com respeito a y e o resultado é derivado novamente com respeito a y.
$$\dfrac{\partial ^{2}f}{\partial y^{2}}=\dfrac{\partial ^{2}}{ \partial y^{2}}(2x^{2}+y^{3})$$
$$=\dfrac{\partial }{\partial y}\left( \dfrac{ \partial }{\partial y}(2x^{2}+y^{3})\right) $$
$$=\dfrac{\partial }{\partial y} \left( 3y^{2}\right) =\allowbreak 6y $$
Uma vez que se trata de uma segunda derivada mista, a parcial é tomada primeiro em relação a x e o resultado é derivado novamente em relação a y.
$$\dfrac{\partial ^{2}f}{\partial y\partial x}=\dfrac{\partial ^{2}}{\partial y\partial x}(2x^{2}+y^{3})$$
$$=\dfrac{\partial }{\partial y}\left( \dfrac{ \partial }{\partial x}(2x^{2}+y^{3})\right) $$
$$=\dfrac{\partial }{\partial y} \left( 4x\right) =\allowbreak 0 $$
EXERCÍCIO 7
Temos a função:
$$f(x,y)=-3x^{2}y^{3} $$
Encontre: $latex f_{x}(2,3)$ e $latex f_{y}\left( 2,3\right) $.
Solução
A notação $latex f_{x}(x,y)$ é uma forma abreviada de escrever $latex\dfrac{ \partial f(x,y)}{\partial x} $
$latex f_{x}(2,\,1) $ significa avaliar a derivada parcial em relação a x no ponto de coordenada $latex x=2 $ e $latex y=1 $.
$$ f_x (2,1)=\dfrac{\partial f(x,y)}{\partial x} |_{(2, \, 1)} $$
$$= \dfrac{\partial (-3x^{2}y^{3})}{\partial x} | _{(2,\,1)}$$
$$=-6xy^{3}|_{(2,\,1)}=-6\cdot 2\cdot 1^{3}= -12$$
Da mesma forma, $latex f_{y}(2,\,1) $ significa calcular a derivada parcial em relação a y no ponto de coordenadas $latex x=2 $ e $latex y=1 $.
$$f_{y}(2,1)=\dfrac{\partial f(x,y)}{\partial y} |_{(2,\,1)}$$
$$=\dfrac{\partial (-3x^{2}y^{3})}{\partial y} |_{(2,\,1)}$$
$$= -9x^{2}y^{2}|_{(2,\,1)}=-9\cdot 2^{2}\cdot 1^{2}=\allowbreak -36$$
EXERCÍCIO 8
Dada a seguinte função:
$$f(x,y) = \ln (2x + y^2) $$
Determinar $latex D_x f$ e $latex D_y f$.
Solução
A notação $latex D_x f$ é uma forma abreviada de escrever $latex \dfrac{\partial f}{\partial x}$.
$$D_{x}f=D_{x}\ln (2x+y^{2})$$
$$=\allowbreak \dfrac{2}{y^{2}+2x}$$
Da mesma forma, $latex D_y f$ é equivalente à escrita $latex \dfrac{\partial f}{\partial y}$.
$$D_{y}f=D_{y}\ln (2x+y^{2})$$
$$=\allowbreak 2\dfrac{y}{y^{2}+2x}$$
EXERCÍCIO 9
Temos o seguinte:
$$f(x,y)=x^y – y^x$$
Encontrar $latex f_{xy}(2,3)$.
Solução
Começamos por encontrar as derivadas parciais:
$$f_{xy}(2,3)=\dfrac{\partial ^{2}f}{\partial x\partial y}|_{(2,3)}$$
$$\dfrac{\partial f}{\partial y}=\dfrac{\partial (x^{y}-y^{x})}{\partial y} = x^{y}\ln x-xy^{x-1}$$
$$ \dfrac{\partial ^{2}f}{\partial x\partial y}=\dfrac{\partial }{\partial x} \left( \dfrac{\partial f}{\partial y}\right)$$
$$=\dfrac{\partial }{\partial x} \left( \allowbreak x^{y}\ln x-xy^{x-1}\right) $$
$$=-\frac{1}{xy} \left( xy^{x}-x^{y}y+x^{2}y^{x}\ln y-x^{y}y^{2}\ln x\right) $$
Agora substituir x por 2 e y por 3:
$$f_{xy}(2,3)=\dfrac{\partial ^{2}f}{\partial x\partial y}|_{(2,3)}$$
$$=-\dfrac{1 }{2\cdot 3}\left( 2\cdot 3^{2}-2^{3}3+2^{2}3^{2}\ln 3-2^{3}3^{2}\ln 2\right) $$
Por conseguinte, temos:
$$f_{xy}(2,3)=12\ln 2-6\ln 3+1= 2,7261$$
EXERCÍCIO 10
A partir da seguinte função de duas variáveis:
$$ f(x,y)=e^{x}\sin (y)$$
Encontrar $latex D_{xx}f+D_{yy}f$.
Solução
$$D_{x}f=D_{x}(e^{x}\sin (y))= e^{x}\sin y $$
$$D_{xx}f=D_{x}(D_{x}f)=D_{x}(e^{x}\sin y)= e^{x}\sin y $$
Do mesmo modo:
$$D_{y}f=D_{y}(e^{x}\sin (y))= \left( \cos y\right) e^{x}$$
$$D_{yy}f=D_{y}(D_{y}f)=D_{y}(\left( \cos y\right) e^{x})= -e^{x}\sin y$$
Por conseguinte:
$$D_{xx}f+D_{yy}f= e^{x}\sin y+(-e^{x}\sin y)=0$$
Derivadas parciais – Problemas de prática
Encontre a derivada parcial de $latex f(x,y)=x^2+x\sin(y)$ em relação a $latex y$.
Escreva a resposta na caixa.
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Jefferson Huera Guzman
Jefferson é o principal autor e administrador do Neurochispas.com. O conteúdo interativo de Matemática e Física que criei ajudou muitos alunos.
