As derivadas parciais de segunda ordem descrevem a taxa na qual a própria derivada parcial muda em relação às suas variáveis. Esta informação é essencial para a compreensão de sistemas complexos, desde o fluxo de calor por meio de uma superfície até ao comportamento dos mercados econômicos.
Neste artigo exploraremos o conceito de derivadas parciais de segunda ordem. Aprenderemos como eles são calculados e veremos alguns exercícios práticos.
Como calcular derivadas parciais de segunda ordem?
As derivadas parciais de segunda ordem são encontradas calculando a derivada parcial de uma função duas vezes em relação às variáveis fornecidas.
Por exemplo, se tivermos a função $latex z=f(x, y)$, então:
$latex \dfrac{\partial^2{f}}{\partial{x^2}}=\dfrac{\partial }{\partial{x}}\left(\dfrac{\partial f}{\partial x}\right)~$ e $latex \dfrac{\partial^2{f} }{\partial x^2}=\dfrac{\partial }{\partial{x}}\left(\dfrac{\partial f}{\partial x}\right)~$
Essas derivadas também podem ser escritas como $latex f_{xx}$ e $latex f_{yy}$, que é notação subscrita.
As derivadas parciais de segunda ordem não precisam necessariamente ser sempre relativas à mesma variável. Também podemos calcular derivadas parciais mistas:
$latex \dfrac{\partial^2{f}}{\partial x\partial y}=\dfrac{\partial }{\partial{x}}\left(\dfrac{\partial f}{\partial y}\right)~$ e $latex \dfrac{\partial^2{f}}{\partial y \partial x}=\dfrac{\partial }{\partial{y}}\left(\dfrac{\partial f}{\partial x}\right)~$
Essas derivadas são denotadas como $latex f_{xy}$ e $latex f_{yx}$ respectivamente.
Nota: Como veremos nos exercícios abaixo, acontece que $latex f_{xy}=f_{yx}$ é sempre verdadeiro.
Se precisar revisar derivadas parciais de primeira ordem, você pode visitar este artigo.
Exercícios resolvidos sobre derivadas parciais de segunda ordem
EXERCÍCIO 1
Encontre a derivada $latex \dfrac{\partial^2{f} }{\partial x^2}$ da seguinte função:
$$f(x, y) = 3x^2 + 4xy + y^2$$
Solução
Para calcular esta derivada, temos que diferenciar a função dada duas vezes em relação a $latex x$, enquanto a variável $latex y$ é mantida constante.
Então, a derivada parcial de primeira ordem em relação a $latex x$ é:
$$\dfrac{\partial{d}f}{\partial x}=6x+4y$$
Ao diferenciar o termo $latex 3x^2$ em relação a $latex x$, temos $latex 6x$. Ao diferenciar o termo $latex 4xy$ em relação a $latex x$, temos $latex 4y$.
A derivada de $latex y^2$ em relação a $latex x$ é zero, pois a variável $latex y$ é mantida constante.
Agora, diferenciamos $latex \dfrac{\partial f}{\partial x}$ em relação a $latex x$:
$$\dfrac{\partial^2{f}}{\partial x^2}=6$$
EXERCÍCIO 2
Qual é a derivada $latex \dfrac{\partial^2{f}}{\partial y^2}$ da seguinte função?
$$f(x, y) = 3x^2 + 4xy + y^2$$
Solução
Neste caso, diferenciaremos a função dada duas vezes em relação a $latex y$, enquanto a variável $latex x$ é mantida constante.
Então, diferenciando a função em relação a $latex y$, temos:
$$\dfrac{\partial f}{\partial y}=4x+2y$$
O termo $latex 3x^2$ é constante, então sua derivada é zero.
Agora, podemos calcular $latex \dfrac{\partial f}{\partial y}$ em relação a $latex y$:
$$\dfrac{\partial^2{f} }{\partial y^2}=2$$
EXERCÍCIO 3
Encontre as derivadas $latex f_{xy}$ e $latex f_{yx}$ da seguinte função:
$$f(x, y) = 3x^2 + 4xy + y^2$$
Solução
Para resolver este exercício, temos que calcular as derivadas parciais da função tanto em relação a $latex x$ quanto em relação a $latex y$:
$latex f_{x}=6x+4y$
$latex f_{y}=4x+2y$
Agora, encontramos a derivada de segunda ordem de $latex f_{x}$ e $latex f_{y}$ em relação à outra variável:
$latex f_{xy}=4$
$latex f_{yx}=4$
Vemos que a derivada obtida é a mesma. A igualdade $latex f_{xy}=f_{yx}$ é sempre verdadeira.
EXERCÍCIO 4
Encontre as derivadas parciais de segunda ordem de
$latex f(x, y) = x^3y + x^2y^2$
Solução
Para começar, encontramos as derivadas parciais de primeira ordem:
$$f_{x} = 3x^2y + 2xy^2$$
$$f_{y} = x^3 + 2xy$$
A seguir, diferenciamos cada uma dessas derivadas parciais de primeira ordem em relação à mesma variável e à outra variável:
$latex f_{xx} = 6xy + 6x^2$
$latex f_{xy} = 3x^2 + 4xy$
$latex f_{yx} = 3x^2 + 4xy$
$latex f_{yy} = 2x$
EXERCÍCIO 5
Encontre as quatro derivadas parciais de segunda ordem de
$latex f(x, y)=x^2+xy^3-y^2$
Solução
Para encontrar as quatro derivadas parciais de segunda ordem, temos que começar calculando as duas derivadas parciais de primeira ordem:
$latex f_{x}=2x+y^3$
$latex f_{y}=3xy^2-2y$
Agora, podemos diferenciar cada uma dessas expressões em relação a $latex x$ e $latex y$:
$latex f_{xx}=2$
$latex f_{xy}=3y^2$
$latex f_{yx}=3y^2$
$latex f_{yy}=6xy-2$
EXERCÍCIO 6
Encontre as derivadas parciais de segunda ordem da seguinte função:
$latex f(x, y) = x^3y^2 – 2x^2y + 5xy^3$
Solução
Primeiro, encontramos as derivadas parciais de primeira ordem em relação a $latex x$ e em relação a $latex y$:
$latex f_{x} = 3x^2y^2 – 4xy + 5y^3$
$latex f_{y} = 2x^3y – 2x^2 + 15xy^2$
A seguir, diferenciamos cada uma dessas derivadas parciais de primeira ordem em relação a ambas as variáveis:
$latex f_{xx} = 6xy^2 – 4$
$latex f_{xy} = 6x^2y-4x + 15y^2$
$latex f_{yx} = 6x^2y-4x+15y^2$
$latex f_{yy} = 2x^3 + 30xy$
EXERCÍCIO 7
Temos a função $latex f(x, y)= ax^2+by^2$, onde $latex a$ e $latex b$ são constantes.
Encontre a relação entre $latex a$ e $latex b$ tal que $latex f_{xx}+f_{yy}=0$.
Solução
Para resolver este problema, começamos por encontrar as derivadas parciais de primeira ordem:
$latex f_{x}=2ax$
$latex f_{y}=2by$
Agora, podemos calcular as derivadas parciais $latex f_{xx}$ e $latex f_{yy}$:
$latex f_{xx}=2a$
$latex f_{yy}=2b$
Isso significa que temos:
$latex f_{xx}+f_{yy}=2a+2b$
Queremos que seja igual a 0, então temos $latex b=-a$. Portanto, a função original pode ser escrita como:
$latex f(x,y)=a(x^2-y^2)$
EXERCÍCIO 8
Encontre as quatro derivadas parciais de segunda ordem da seguinte função:
$latex f(x, y) = \sin(x)\cos(y)$
Solução
As derivadas parciais de primeira ordem são:
$latex f_{x} = \cos(x)\cos(y)$
$latex f_{y} = -\sin(x)\sin(y)$
Então, diferenciamos cada uma dessas derivadas parciais de primeira ordem em relação a ambas as variáveis:
$latex f_{xx} = -\sin(x)\cos(y)$
$latex f_{xy} = -\cos(x)\sin(y)$
$latex f_{yx} = -\cos(x)\sin(y)$
$latex f_{yy} = -\sin(x)\cos(y)$
Derivadas parciais de segundo grau – Exercícios para resolver
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Jefferson Huera Guzman
Jefferson é o principal autor e administrador do Neurochispas.com. O conteúdo interativo de Matemática e Física que criei ajudou muitos alunos.
