O método de completar o quadrado é uma técnica de fatoração que nos permite converter uma dada expressão ou equação quadrática na forma ax²+bx+c para a forma a(x-h)²+k. Podemos usar essa técnica para simplificar o processo de resolução de equações quando temos equações quadráticas complexas.
A seguir, veremos um resumo sobre a técnica de completar o quadrado. Usaremos esta técnica para resolver alguns exercícios práticos.
Fórmula para completar o quadrado
O processo de completar o quadrado é usado para expressar uma expressão quadrática $latex ax^2+bx+c$ na seguinte forma:
$latex a(x+p)^2+q$
onde p e q são constantes.
O caso mais simples de completar o quadrado acontece quando temos que a=1, ou seja, o termo quadrático tem coeficiente igual a 1. Nesses casos, temos:
$$x^2+bx+c=\left(x+\frac{b}{2}\right)^2-\left(\frac{b}{2}\right)^2+c$$
$$=\left(x+\frac{b}{2}\right)^2-\left(\frac{b^2}{4}\right)+c$$
Completando quadrados – Método passo a passo
Podemos seguir os passos abaixo para completar o quadrado de uma expressão quadrática. Este método se aplica mesmo quando o coeficiente a é diferente de 1.
Passo 1: Se o coeficiente a for diferente de 1, dividimos toda a expressão quadrática por a para obter uma expressão onde o termo quadrático tem um coeficiente igual a 1:
$latex x^2+bx+c$
Passo 2: Dividimos o coeficiente de x (o coeficiente b) por 2:
$$\left(\frac{b}{2}\right)$$
Passo 3: Quadramos a expressão obtida no passo 2:
$$\left(\frac{b}{2}\right)^2$$
Passo 4: Adicionamos e subtraímos a expressão obtida no passo 3 à expressão obtida no passo 1:
$$x^2+bx+\left(\frac{b}{2}\right)^2-\left(\frac{b}{2}\right)^2+c$$
Passo 5: Fatoramos a expressão quadrática aplicando a identidade algébrica $latex x^2+2xy+y^2=(x+y)^2$:
$$\left(x+\frac{b}{2}\right)^2-\left(\frac{b}{2}\right)^2+c$$
Passo 6: Multiplicamos a expressão resultante do passo 5 pelo número pelo qual dividimos no passo 1.
Resolva equações quadráticas completando o quadrado
O método de completar o quadrado nos permite resolver equações quadráticas facilmente. Quando temos uma expressão quadrática na forma $latex (x-h)^2+k$, podemos escrevê-la da seguinte forma:
$latex (x-h)^2=-k$
Aqui, podemos tirar a raiz quadrada de ambos os lados e resolver facilmente para x.
Completando quadrados – Exercícios resolvidos
EXERCÍCIO 1
Complete o quadrado da expressão $latex x^2+2x-5$.
Solução
Como o coeficiente do termo quadrático é igual a 1, não precisamos dividir a expressão por nenhum número inicialmente.
Vemos que o coeficiente b é igual a 2. Então, temos:
$$\left(\frac{b}{2}\right)^2=\left(\frac{2}{2}\right)^2=1$$
Somando e subtraindo esse valor, temos:
$$x^2+2x-5=x^2+2x+1-1-5$$
Completando o quadrado e simplificando, temos:
$latex = (x+1)^2-1-5$
$latex = (x+1)^2-6$
EXERCÍCIO 2
Complete o quadrado da expressão $latex x^2+4x+10$.
Solução
Não precisamos aplicar o primeiro passo, pois o coeficiente do termo quadrático é igual a 1.
Agora, podemos ver que o coeficiente b é igual a 4. Então, temos:
$$\left(\frac{b}{2}\right)^2=\left(\frac{4}{2}\right)^2$$
$$=2^2$$
Quando somamos e subtraímos esta expressão, temos:
$$x^2+4x+10=x^2+4x+2^2-2^2+10$$
Completando o quadrado e simplificando, temos:
$latex = (x+2)^2-4+10$
$latex = (x+2)^2+6$
EXERCÍCIO 3
Complete o quadrado da expressão $latex 2x^2+6x+6$.
Solução
Aqui, a expressão tem um termo quadrático com um coeficiente diferente de 1. Então, podemos dividir a expressão inteira por 2 para obter o seguinte
⇒ $latex x^2+3x+3$.
Dado que o coeficiente b é igual a 3, temos:
$$\left(\frac{b}{2}\right)^2=\left(\frac{3}{2}\right)^2$$
Somando e subtraindo esse valor, temos:
$$x^2+3x+3=x^2+3x+\left(\frac{3}{2}\right)^2-\left(\frac{3}{2}\right)^2+3$$
Completando o quadrado e simplificando, temos:
$latex = (x+\frac{3}{2})^2-\frac{9}{4}+3$
$latex = (x+\frac{3}{2})^2+\frac{3}{4}$
Como dividimos a expressão por 2 inicialmente, multiplicamos o resultado por 2:
⇒ $latex 2(x+\frac{3}{2})^2+\frac{3}{2}$
EXERCÍCIO 4
Resolva a equação $latex x^2+4x-5=0$ usando o método de completar o quadrado.
Solução
Nesta equação, b é igual a 4. Então, temos:
$$\left(\frac{b}{2}\right)^2=\left(\frac{4}{2}\right)^2$$
$$=2^2$$
Adicionando e subtraindo esse valor à equação quadrática, temos:
$$x^2+4x-5=x^2+4x+2^2-2^2-5$$
Completando o quadrado e simplificando, temos:
$latex = (x+2)^2-4-5$
$latex = (x+2)^2-9$
Agora podemos escrever a equação da seguinte forma:
⇒ $latex (x+2)^2=9$
Tirando a raiz quadrada de ambos os lados, temos:
⇒ $latex x+2=\sqrt{9}$
⇒ $latex x+2=3$
⇒ $latex x=1$
EXERCÍCIO 5
Resolva a equação $latex 2x^2-8x-8=0$ usando o método de completar o quadrado.
Solução
Dividimos a equação por 2 para obter uma equação onde o coeficiente do termo quadrático é igual a 1:
$latex x^2-4x-4=0$
Agora, vemos que o coeficiente b é igual a -4. Então temos:
$$\left(\frac{b}{2}\right)^2=\left(\frac{-4}{2}\right)^2$$
$$=(-2)^2$$
Adicionando e subtraindo esse valor à equação, temos:
$$x^2-4x-4=x^2-4x+(-2)^2-(-2)^2-4$$
Completando o quadrado e simplificando, temos:
$latex = (x-2)^2-4-4$
$latex = (x-2)^2-8$
Agora, escrevemos a equação da seguinte forma:
⇒ $latex (x-2)^2=8$
Tirando a raiz quadrada de ambos os lados, temos:
⇒ $latex x-2=\sqrt{8}$
⇒ $latex x=2\pm \sqrt{8}$
EXERCÍCIO 6
Encontre as soluções da equação $latex 2x^2+12x-14=0$ usando o método de completar o quadrado.
Solução
Dividindo a equação por 2, podemos fazer o coeficiente do termo quadrático igual a 1:
⇒ $latex x^2+6x-7=0$
Agora, temos que o coeficiente b é igual a 6. Então, temos:
$$\left(\frac{b}{2}\right)^2=\left(\frac{6}{2}\right)^2$$
$$=3^2$$
Se somarmos e subtrairmos este valor à equação, teremos:
$$x^2+6x-7=x^2+6x+3^2-3^2-7$$
Completando o quadrado e simplificando, temos:
$latex = (x+3)^2-9-7$
$latex = (x+3)^2-16$
Podemos escrever a equação da seguinte forma:
$latex (x+3)^2=16$
Tirando a raiz quadrada de ambos os lados, temos:
⇒ $latex x+3=4$
⇒ $latex x=1$
EXERCÍCIO 7
Resolva a equação quadrática $latex 3x^2-12x-3=0$ usando o método de completar o quadrado.
Solução
Começamos dividindo a equação por 3 para tornar o coeficiente do termo quadrático igual a 1:
⇒ $latex x^2-4x-1=0$
Vemos que o coeficiente b é igual a -4. Então temos:
$$\left(\frac{b}{2}\right)^2=\left(\frac{-4}{2}\right)^2$$
$$=(-2)^2$$
Adicionando e subtraindo esse valor à equação, temos:
$$x^2-4x-1=x^2-4x+(-2)^2-(-2)^2-1$$
Completando o quadrado e simplificando, temos:
$latex = (x-2)^2-4-1$
$latex = (x-2)^2-5$
Podemos escrever a equação da seguinte forma:
$latex (x-2)^2=5$
Podemos resolver a equação tirando a raiz quadrada de ambos os lados:
⇒ $latex (x-2)=\sqrt{5}$
⇒ $latex x=2\pm \sqrt{5}$
Completando quadrados – Exercícios para resolver
Veja também
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Jefferson Huera Guzman
Jefferson é o principal autor e administrador do Neurochispas.com. O conteúdo interativo de Matemática e Física que criei ajudou muitos alunos.
