Para resolver equações de segundo grau usando o método de completar o quadrado, precisamos converter uma equação da forma ax²+bx+c para a forma a(x-h)²=k. Então podemos tirar a raiz quadrada de ambos os lados. Isso tornará mais fácil para nós resolver para x.
A seguir, aprenderemos a resolver equações do segundo grau completando o quadrado. Vamos conhecer por um processo passo a passo e usá-lo para resolver alguns exercícios práticos.
ÁLGEBRA
Relevante para…
Aprender a resolver equações do segundo grau completando o quadrado.
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Resolver equações quadráticas completando o quadrado – Método passo a passo
Para resolver equações de segundo grau pelo método de completar o quadrado, podemos seguir os passos abaixo assumindo que começamos com uma equação escrita na forma $latex ax^2+bx+c=0$.
Passo 1: Quando o coeficiente do termo quadrático (a) é diferente de 1, dividimos a equação quadrática por a para obter uma equação com valor de a igual a 1:
$latex x^2+bx+c=0$
Passo 2: Pegamos o coeficiente b e dividimos por 2:
$$\left(\frac{b}{2}\right)$$
Passo 3: Pegamos a expressão do passo 2 e elevamos ao quadrado:
$$\left(\frac{b}{2}\right)^2$$
Passo 4: Adicionamos e subtraímos a expressão obtida no passo 3 à equação obtida no passo 1:
$$x^2+bx+\left(\frac{b}{2}\right)^2-\left(\frac{b}{2}\right)^2+c=0$$
Passo 5: Aplicamos a identidade $latex x^2+2xy+y^2=(x+y)^2$ para fatorar a equação quadrática:
$$\left(x+\frac{b}{2}\right)^2-\left(\frac{b}{2}\right)^2+c=0$$
Passo 6: Multiplicamos a expressão resultante da etapa 5 pelo número pelo qual dividimos na etapa 1 e simplificamos para obter uma equação da seguinte forma:
$latex (x-h)^2+k=0$
Passo 7: Escrevemos a equação da seguinte forma:
$latex (x-h)^2=-k$
Passo 8: Tiramos a raiz quadrada de ambos os lados da equação:
$latex x-h=\sqrt{-k}$
Passo 9: As soluções da equação quadrática são:
$latex x=h\pm \sqrt{-k}$
Resolver equações do segundo grau completando o quadrado – Exercícios resolvidos
O método de completar o quadrado é usado para resolver os seguintes exercícios. Os passos vistos acima são aplicados, mas de forma mais simplificada.
EXERCÍCIO 1
Complete o quadrado da expressão $latex x^2+2x-3=0$ e resolva a equação.
Solução
Como o valor do coeficiente a é igual a 1, não precisamos dividir a equação por nenhum número inicialmente.
O coeficiente b é igual a 2. Então, temos:
$$\left(\frac{b}{2}\right)^2=\left(\frac{2}{2}\right)^2=1$$
Somando e subtraindo esse valor, temos:
$$x^2+2x-3=x^2+2x+1-1-3$$
Completando o quadrado e simplificando, temos:
$latex = (x+1)^2-1-3$
$latex = (x+1)^2-4$
Agora podemos escrever a equação da seguinte forma:
$latex (x+1)^2=4$
E tiramos a raiz quadrada de ambos os lados:
⇒ $latex x+1=2~~$ ou $latex ~~x+1=-2$
Resolvendo, temos:
⇒ $latex x=1~~$ ou $latex ~~x=-3$
EXERCÍCIO 2
Resolva a equação $latex x^2+4x-6=0$ usando o método de completar o quadrado.
Solução
Não precisamos aplicar o primeiro passo, pois o coeficiente do termo é igual a 1.
Aqui, o coeficiente b é igual a 4. Então, temos:
$$\left(\frac{b}{2}\right)^2=\left(\frac{4}{2}\right)^2$$
$$=2^2$$
Adicionando e subtraindo esse valor à equação quadrática, temos:
$$x^2+4x-6=x^2+4x+2^2-2^2-6$$
Completando o quadrado e simplificando, temos:
$latex = (x+2)^2-4-6$
$latex = (x+2)^2-10$
Assim, temos a equação:
$latex (x+2)^2=10$
Tirando a raiz quadrada de ambos os lados, temos:
⇒ $latex x+2=\sqrt{10}$
Resolvendo, temos:
⇒ $latex x=-2\pm \sqrt{10}$
EXERCÍCIO 3
Resolva a equação quadrática $latex x^2+6x-1=0$ completando o quadrado.
Solução
Nesta equação, temos um coeficiente b igual a 3, então temos:
$$\left(\frac{b}{2}\right)^2=\left(\frac{6}{2}\right)^2$$
$$=3^2$$
Adicionando e subtraindo esse valor à expressão quadrática, temos:
$$x^2+6x-1=x^2+6x+3^2-3^2-1$$
Completando o quadrado e simplificando, temos:
$latex = (x+3)^2-9-1$
$latex = (x+3)^2-10$
Para resolver a equação, escrevemos da seguinte forma:
$latex (x+3)^2=10$
Tirando a raiz quadrada de ambos os lados, temos:
⇒ $latex x+3=\sqrt{10}$
Resolvendo, temos:
⇒ $latex x=-3\pm \sqrt{10}$
EXERCÍCIO 4
Complete o quadrado da expressão $latex 2x^2+8x-10=0$ e resolva a equação.
Solução
Começamos dividindo a expressão por 2 para tornar o coeficiente do termo quadrático igual a 1:
⇒ $latex x^2+4x-5=0$
Agora, o coeficiente b é igual a 4. Então, temos:
$$\left(\frac{b}{2}\right)^2=\left(\frac{4}{2}\right)^2$$
$$=2^2$$
Adicionando e subtraindo à expressão quadrática, temos:
$$x^2+4x-5=x^2+4x+2^2-2^2-5$$
Completamos o quadrado e simplificamos
$latex = (x+2)^2-4-5$
$latex = (x+2)^2-9$
Agora, escrevemos a equação assim:
⇒ $latex (x+2)^2=9$
E tiramos a raiz quadrada de ambos os lados:
⇒ $latex x+2=3~~$ ou $latex ~~x+2=-3$
Resolvendo, temos:
⇒ $latex x=1~~$ ou $latex ~~x=-5$
EXERCÍCIO 5
Use o método de completar o quadrado para resolver a equação $latex x^2-3x+1=0$
Solução
O coeficiente b nesta equação é igual a -3. Então temos:
$$\left(\frac{b}{2}\right)^2=\left(\frac{-3}{2}\right)^2$$
Adicionando e subtraindo esta expressão à equação quadrática, temos:
$$x^2-3x+1=x^2-2x+\left(\frac{-3}{2}\right)^2-\left(\frac{-3}{2}\right)^2+1$$
Completando o quadrado e simplificando, temos:
$latex = (x-\frac{3}{2})^2-\left(\frac{-3}{2}\right)^2+1$
$latex = (x-\frac{3}{2})^2-\frac{5}{4}$
Agora podemos escrever a equação da seguinte forma:
$latex ⇒ (x-\frac{3}{2})^2=\frac{5}{4}$
Tirando a raiz quadrada de ambos os lados, temos:
⇒ $latex x-\frac{3}{2}=\sqrt{\frac{5}{4}}$
⇒ $latex x-\frac{3}{2}=\frac{\sqrt{5}}{2}$
Resolvendo, temos:
⇒ $latex x=\frac{3}{2}\pm \frac{\sqrt{5}}{2}$
EXERCÍCIO 6
Encontre as soluções para a equação $latex x^2+6x-7=0$ usando o método de completar o quadrado.
Solução
Nesta equação, o coeficiente b é igual a 6. Então, temos:
$$\left(\frac{b}{2}\right)^2=\left(\frac{6}{2}\right)^2$$
$$=3^2$$
Adicionando essa expressão à equação quadrática, temos:
$$x^2+6x-7=x^2+6x+3^2-3^2-7$$
Completando o quadrado e simplificando, temos:
$latex = (x+3)^2-9-7$
$latex = (x+3)^2-16$
Agora podemos escrever a equação da seguinte forma:
$latex (x+3)^2=16$
Tomamos a raiz quadrada de ambos os lados para resolver:
$latex x+3=4~~$ ou $latex ~~x+3=-4$
⇒ $latex x=1~~ $ ou $latex ~~x=-7$
EXERCÍCIO 7
Resolva a equação quadrática $latex 3x^2+15x+15=0$ usando o método de completar o quadrado.
Solução
Começamos dividindo a equação por 3 para tornar o coeficiente do termo quadrático igual a 1:
$latex x^2+3x+3=0$
Aqui, o coeficiente b é igual a 3. Então, temos:
$$\left(\frac{b}{2}\right)^2=\left(\frac{3}{2}\right)^2$$
Adicionando e subtraindo esse valor à expressão quadrática, temos:
$$x^2+3x+3=x^2+3x+\left(\frac{3}{2}\right)^2-\left(\frac{3}{2}\right)^2+3$$
Completando o quadrado e simplificando, temos:
$latex = (x+\frac{3}{2})^2-\frac{9}{4}+3$
$latex = (x+\frac{3}{2})^2+\frac{3}{4}$
Agora, escrevemos da seguinte forma:
$latex = (x+\frac{3}{2})^2=-\frac{3}{4}$
Tirando a raiz quadrada de ambos os lados, temos:
$latex (x+\frac{3}{2})=\sqrt{-\frac{3}{4}}$
Como $latex \sqrt{-\frac{3}{4}}$ não é real, a equação não tem raízes reais.
Resolver equações do segundo grau completando o quadrado – Exercícios para resolver
Use a técnica de completar o quadrado para resolver as seguintes equações quadráticas. Clique em “Verificar” para verificar se você acertou a resposta.
Veja também
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Jefferson Huera Guzman
Jefferson é o principal autor e administrador do Neurochispas.com. O conteúdo interativo de Matemática e Física que criei ajudou muitos alunos.
