Área e Perímetro de um Pentágono - Fórmulas e Exercícios

O perímetro de um pentágono é o comprimento do contorno do pentágono. Por outro lado, sua área representa o espaço bidimensional ocupado pela figura. Podemos encontrar o perímetro de um pentágono somando os comprimentos de seus cinco lados, e podemos encontrar sua área multiplicando o comprimento do apótema pelo comprimento de um de seus lados e multiplicando por 5/2.

A seguir, exploraremos todas as coisas relacionadas ao perímetro e à área de um pentágono. Conheceremos suas fórmulas e as aplicaremos para resolver alguns exercícios práticos.

GEOMETRIA

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Aprender sobre o perímetro e a área de um pentágono.

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Conteúdo

Como calcular o perímetro de um pentágono?
Como calcular a área de um pentágono?
Perímetro e área de um pentágono – Exercícios resolvidos
Perímetro e área de um pentágono – Exercícios resolvidos
Veja também

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Como calcular o perímetro de um pentágono?

O perímetro de um pentágono representa o comprimento total dos limites do pentágono. Assim, podemos calcular o perímetro de um pentágono adicionando os comprimentos de seus cinco lados:

$latex p=a+b+c+d+e$

onde, $latex a,~b,~c,~d,~e$ são os comprimentos dos lados do pentágono.

Se o pentágono é regular, todos os seus cinco lados têm o mesmo comprimento, então a fórmula do perímetro se torna:

$latex p=5a$

onde, a é o comprimento de um dos lados do pentágono.

regular-pentágono-com-comprimento-dos-lados

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Como calcular a área de um pentágono?

A área de um pentágono regular pode ser calculada usando o comprimento de seu apótema e o comprimento de um de seus lados. Assim, usamos a seguinte fórmula:

$latex A= \frac{5}{2} \times l \times a$

onde l é o comprimento de um dos lados e a é o comprimento do apótema. Lembremos que o apótema é o segmento que une o centro do pentágono com um de seus lados.

Alternativamente, podemos calcular a área de um pentágono usando a seguinte fórmula:

$latex A=\frac{1}{4}\sqrt{5(5+2\sqrt{5}){{l}^2}}$

onde, l é o comprimento de um dos lados do pentágono. Essa fórmula é mais complicada, mas permite calcular a área de um pentágono regular simplesmente com o comprimento de um de seus lados.

Prova da fórmula para a área de um pentágono

Para provar a fórmula da área de um pentágono, vamos usar o seguinte diagrama, onde dividimos o pentágono em cinco triângulos isósceles como na imagem a seguir:

A área de qualquer triângulo pode ser calculada usando a fórmula $latex A= \frac{1}{2} bh$, onde b é a base do triângulo e h é sua altura. Nos triângulos isósceles acima, a base é igual ao comprimento de um dos lados do pentágono (comprimento l.)

A altura do triângulo é igual ao apótema do pentágono (comprimento a). Então, a área de cada triângulo no pentágono é $latex A= \frac{1}{2} la$. Como temos cinco triângulos, a área do pentágono é:

$latex A= \frac{5}{2} \times l \times a$

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Área e perímetro de um pentágono – Exercícios resolvidos

EXERCÍCIO 1

Encontre o perímetro de um pentágono regular com lados de 10 mm de comprimento.

Solução

Vamos usar a fórmula do perímetro com o valor $latex a=10$. Então temos:

$latex p=5a$

$latex p=5(10)$

$latex p=50$

O perímetro do pentágono é igual a 50 mm.

const alltoggles = document.getElementsByClassName("wp-block-ub-content-toggle-accordion-title-wrap"); const toggle1 = alltoggles[0]; toggle1.addEventListener('click', runToggle1); function runToggle1() { freestar.config.enabled_slots.push({ placementName: "neurochispas_leaderboard_3", slotId: "neurochispas_leaderboard_3" }); toggle1.removeEventListener('click', runToggle1); }

EXERCÍCIO 2

Encontre a área de um pentágono regular com lados de 10 cm de comprimento e um apótema de 6,88 cm.

Solução

Temos os seguintes comprimentos:

Lados, $latex l=10$ cm
Apothem, $latex a=6,88$ cm

Substituindo esses valores na fórmula da área de um pentágono, temos:

$latex A= \frac{5}{2}la$

$latex A= \frac{5}{2}(10)(6,88)$

$latex A=172$

A área do pentágono é igual a 172 cm².

const toggle2 = alltoggles[1]; toggle2.addEventListener('click', runToggle2); function runToggle2() { freestar.config.enabled_slots.push({ placementName: "neurochispas_leaderboard_3", slotId: "neurochispas_leaderboard_3_2" }); toggle2.removeEventListener('click', runToggle2);}

EXERCÍCIO 3

Encontre o perímetro de um pentágono regular com lados de 11 m de comprimento.

Solução

Usamos o comprimento $latex a=11$ na fórmula do perímetro e temos:

$latex p=5a$

$latex p=5(11)$

$latex p=55$

O perímetro do pentágono é igual a 55 m.

const toggle3 = alltoggles[2]; toggle3.addEventListener('click', runToggle3); function runToggle3() { freestar.config.enabled_slots.push({ placementName: "neurochispas_leaderboard_3", slotId: "neurochispas_leaderboard_3_3" }); toggle3.removeEventListener('click', runToggle3);}

EXERCÍCIO 4

Qual é a área de um pentágono regular com lados de 8 cm de comprimento e um apótema de 5,51 cm de comprimento?

Solução

Temos os seguintes comprimentos:

Lados, $latex l=8$ cm
Apothem, $latex a=5,51$ cm

Aplicando a fórmula da área com esses comprimentos, temos:

$latex A= \frac{5}{2}la$

$latex A= \frac{5}{2}(8)(5,51)$

$latex A=110,2$

A área do pentágono é igual a 110,2 cm².

const toggle4 = alltoggles[3]; toggle4.addEventListener('click', runToggle4); function runToggle4() { freestar.config.enabled_slots.push({ placementName: "neurochispas_leaderboard_3", slotId: "neurochispas_leaderboard_3_4" }); toggle4.removeEventListener('click', runToggle4);}

EXERCÍCIO 5

Qual é o perímetro de um pentágono regular com lados de comprimento 15 m?

Solução

Usamos a fórmula do perímetro com comprimento $latex a=15$. Então temos:

$latex p=5a$

$latex p=5(15)$

$latex p=75$

O perímetro do pentágono é igual a 75 m.

const toggle5 = alltoggles[4]; toggle5.addEventListener('click', runToggle5); function runToggle5() { freestar.config.enabled_slots.push({ placementName: "neurochispas_leaderboard_3", slotId: "neurochispas_leaderboard_3_5" }); toggle5.removeEventListener('click', runToggle5);}

EXERCÍCIO 6

Encontre o apótema de um pentágono regular que tem uma área de 84,3 m² e o comprimento de seus lados é de 7 m.

Solução

Temos o seguinte:

Área, $latex A=84,3$ m²
Lados, $latex l=7$ m

Neste caso, conhecemos a área do pentágono e queremos encontrar o apótema. Então, usamos as informações fornecidas na fórmula da área e resolvemos para a:

$latex A= \frac{5}{2}la$

$latex 84,3= \frac{5}{2}(7)a$

$latex 168,6=(5)(7)a$

$latex 168,6=35a$

$latex a=4,82$

O comprimento do apótema é de 4,82 m.

const toggle6 = alltoggles[5]; toggle6.addEventListener('click', runToggle6); function runToggle6() { freestar.config.enabled_slots.push({ placementName: "neurochispas_leaderboard_3", slotId: "neurochispas_leaderboard_3_6" }); toggle6.removeEventListener('click', runToggle6);}

EXERCÍCIO 7

Se o perímetro de um pentágono regular é 20 cm, qual é o comprimento de um de seus lados?

Solução

Aqui, conhecemos o perímetro do pentágono e precisamos encontrar o comprimento de um dos lados. Então, usamos a fórmula do perímetro e resolvemos para a:

$latex p=5a$

$latex 20=5a$

$latex a=4$

O comprimento de um lado do pentágono é 4 cm.

const toggle7 = alltoggles[6]; toggle7.addEventListener('click', runToggle7); function runToggle7() { freestar.config.enabled_slots.push({ placementName: "neurochispas_leaderboard_3", slotId: "neurochispas_leaderboard_3_7" }); toggle7.removeEventListener('click', runToggle7);}

EXERCÍCIO 8

Encontre a área de um pentágono regular com lados de 5 mm de comprimento.

Solução

Neste caso, conhecemos apenas o comprimento dos lados do pentágono e não o seu apótema. Assim, podemos usar a segunda fórmula para a área de um pentágono:

$latex A= \frac{1}{4}\sqrt{5(5+2\sqrt{5}){{l}^2}}$

$latex A= \frac{1}{4}\sqrt{5(5+2\sqrt{5}){{(5)}^2}}$

$latex A=43,01$

A área do pentágono é igual a 43,01 mm².

const toggle8 = alltoggles[7]; toggle8.addEventListener('click', runToggle8); function runToggle8() { freestar.config.enabled_slots.push({ placementName: "neurochispas_leaderboard_3", slotId: "neurochispas_leaderboard_3_8" }); toggle8.removeEventListener('click', runToggle8);}

EXERCÍCIO 9

Se o perímetro de um pentágono regular é igual a 105 cm, encontre o comprimento de um de seus lados.

Solução

Vamos usar a fórmula do perímetro e resolver para a. Então, usando o valor $latex p=105$, temos:

$latex p=5a$

$latex 105=5a$

$latex a=21$

O comprimento de um dos lados é de 21 cm.

const toggle9 = alltoggles[8]; toggle9.addEventListener('click', runToggle9); function runToggle9() { freestar.config.enabled_slots.push({ placementName: "neurochispas_leaderboard_3", slotId: "neurochispas_leaderboard_3_9" }); toggle9.removeEventListener('click', runToggle9);}

EXERCÍCIO 10

Encontre a área de um pentágono regular com lados de 20 mm de comprimento.

Solução

Usando a fórmula da segunda área com comprimento $latex l=20$:

$latex A= \frac{1}{4}\sqrt{5(5+2\sqrt{5}){{l}^2}}$

$latex A= \frac{1}{4}\sqrt{5(5+2\sqrt{5}){{(20)}^2}}$

$latex A=688,19$

A área do pentágono é igual a 688,19 mm².

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Área e perímetro de um pentágono – Exercícios resolvidos

Qual é o perímetro de um pentágono regular com lados de 9 m de comprimento?

Escolha uma resposta

$latex p=40~m$

$latex p=45~m$

$latex p=50~m$

$latex p=55~m$

Encontre a área de um pentágono com lados de 6 m de comprimento e um apótema de 4,13 m.

Escolha uma resposta

$latex A=55,2~{{m}^2}$

$latex A=59,3~{{m}^2}$

$latex A=60,2~{{m}^2}$

$latex A=61,9~{{m}^2}$

freestar.config.enabled_slots.push({ placementName: "neurochispas_leaderboard_3", slotId: "neurochispas_leaderboard_3_p1" });

Encontre o perímetro de um pentágono regular com lados de comprimento 14 mm.

Escolha uma resposta

$latex p=60~mm$

$latex p=65~mm$

$latex p=70~mm$

$latex p=75~mm$

Encontre a área de um pentágono com lados de 11 mm de comprimento e um apótema de 7,57 mm.

Escolha uma resposta

$latex A=182,58~{{mm}^2}$

$latex A=198,16~{{mm}^2}$

$latex A=208,18~{{mm}^2}$

$latex A=216,45~{{mm}^2}$

freestar.config.enabled_slots.push({ placementName: "neurochispas_leaderboard_3", slotId: "neurochispas_leaderboard_3_p2" });

Encontre o comprimento dos lados de um pentágono regular com um perímetro de 35 cm.

Escolha uma resposta

$latex a=5~cm$

$latex a=6~cm$

$latex a=7~cm$

$latex a=8~cm$

Encontre a área de um pentágono regular com lados de comprimento 4 m.

Escolha uma resposta

$latex A=25,64~{{m}^2}$

$latex A=27,53~{{m}^2}$

$latex A=29,15~{{m}^2}$

$latex A=32,44~{{m}^2}$

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Jefferson Huera Guzman

Jefferson é o principal autor e administrador do Neurochispas.com. O conteúdo interativo de Matemática e Física que criei ajudou muitos alunos.

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Como calcular o perímetro de um pentágono?

Como calcular a área de um pentágono?

Prova da fórmula para a área de um pentágono

Área e perímetro de um pentágono – Exercícios resolvidos

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EXERCÍCIO 8

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EXERCÍCIO 10

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Área e perímetro de um pentágono – Exercícios resolvidos

Qual é o perímetro de um pentágono regular com lados de 9 m de comprimento?

Encontre a área de um pentágono com lados de 6 m de comprimento e um apótema de 4,13 m.

Encontre o perímetro de um pentágono regular com lados de comprimento 14 mm.

Encontre a área de um pentágono com lados de 11 mm de comprimento e um apótema de 7,57 mm.

Encontre o comprimento dos lados de um pentágono regular com um perímetro de 35 cm.

Encontre a área de um pentágono regular com lados de comprimento 4 m.

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