Alcance de um projétil – Fórmula e exercícios

Um aspecto importante no estudo de projéteis é o alcance de um projétil. O “alcance de um projétil” define a distância horizontal que um objeto lançado percorrerá sob a influência da gravidade antes de retornar à mesma posição vertical.

Neste artigo, exploraremos os fatores que afetam o alcance e as equações que podemos usar para calculá-lo. Em seguida, veremos alguns exercícios com soluções detalhadas.

FÍSICA
Formula para o alcance de um projétil

Relevante para

Aprender sobre o alcance de um projétil.

Ver exercícios

FÍSICA
Formula para o alcance de um projétil

Relevante para

Aprender sobre o alcance de um projétil.

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Equação para o alcance de um projétil

O alcance de um projétil é a distância horizontal que o projétil percorre desde o ponto de lançamento até o ponto em que retorna à altura de lançamento. O alcance é um componente crucial do movimento do projétil porque descreve a distância que o objeto percorrerá com uma velocidade inicial e um ângulo de lançamento específicos.

O alcance de um projétil depende de vários fatores: a velocidade inicial na qual o objeto é lançado, o ângulo de lançamento e a aceleração devido à gravidade.

A equação para o alcance ($latex R$) de um projétil, lançado a uma velocidade inicial ($latex u$) em um ângulo ($latex \theta$) em relação à horizontal, sob condições ideais (sem resistência do ar) e supondo que as alturas inicial e final sejam as mesmas, é dada por:

$$R = \frac{u^2\sin(2\theta)}{g}$$

onde:

  • $latex R$ é o alcance ou a distância horizontal percorrida,
  • $latex u$ é a velocidade inicial,
  • $latex g$ é a aceleração devido à gravidade (cerca de 9,81 m/s² na superfície da Terra), e
  • $latex \theta$ é o ângulo entre a direção da velocidade inicial e a horizontal.

Formula para o alcance de um projétil

Essa equação é derivada da combinação das equações que regem os deslocamentos vertical e horizontal de um projétil. Para o componente vertical ou altura, temos:

$latex h=ut \sin (\theta)-\frac{1}{2}gt^2$

Com isso, podemos descobrir o tempo necessário para que o projétil atinja o solo novamente. Isso acontece quando $latex h=0$:

$latex 0=ut \sin (\theta)-\frac{1}{2}gt^2$

$latex \frac{1}{2}gt^2=ut \sin (\theta)$

Resolvendo para o tempo:

$$t=\frac{2u\sin(\theta)}{g}$$

Agora, para o componente horizontal, temos:

$latex s=ut\cos(\theta)$

O deslocamento horizontal ou alcance, $latex R$, ocorre quando o projétil atinge o solo. Ou seja, quando $latex h=0$ e quando $latex t=\frac{2u\sin(\theta)}{g}$. Então,

$$R=u\times \frac{2u\sin(\theta)}{g}\times \cos(\theta)$$

$$= \frac{u^2\times 2\sin(\theta) \cos(\theta)}{g}$$

Usando a substituição trigonométrica $latex \sin(2\theta)=2\sin(\theta)\cos(\theta)$, temos:

$$R= \frac{u^2\times \sin(2\theta) }{g}$$


Impacto de vários fatores no alcance de um projétil

O alcance de um projétil é influenciado por vários fatores, incluindo a velocidade inicial, o ângulo de lançamento e a gravidade.

Efeito das mudanças na velocidade inicial sobre o alcance

Supondo que o ângulo de lançamento e a gravidade permaneçam constantes, uma velocidade inicial mais alta resulta em um alcance maior. Isso ocorre porque a velocidade inicial fornece ao projétil sua energia cinética inicial, e uma velocidade inicial mais alta lhe dá mais energia para superar a gravidade por uma distância maior.

Impacto do ângulo de projeção no alcance

Em uma velocidade inicial e força gravitacional fixas, o alcance aumenta inicialmente à medida que o ângulo aumenta. Entretanto, além de um certo ponto (45 graus na ausência de resistência do ar), o alcance começa a diminuir à medida que o ângulo aumenta. Isso ocorre porque uma parte maior da velocidade inicial é então direcionada para cima, neutralizando a gravidade por mais tempo, mas não contribuindo tanto para o movimento horizontal.

Influência da gravidade no alcance

Em um ambiente com gravidade mais forte, o alcance de um projétil é menor, supondo que o ângulo de lançamento e a velocidade inicial permaneçam os mesmos. Isso ocorre porque uma atração gravitacional mais forte faz com que o projétil desça mais rapidamente para a Terra, reduzindo assim a distância horizontal percorrida.

O alcance máximo a 45 graus

Para uma determinada velocidade inicial, o alcance máximo de um projétil é alcançado quando ele é lançado em um ângulo de 45 graus. Esse é um caso especial que resulta do equilíbrio entre os componentes horizontal e vertical da velocidade inicial.

Quando um projétil é lançado, a velocidade inicial é dividida em dois componentes: o componente vertical (que neutraliza a gravidade) e o componente horizontal (que contribui para o alcance).

Se o ângulo de lançamento for de 45 graus, esses dois componentes serão iguais, criando um equilíbrio ideal. Isso resulta no alcance máximo, pois o projétil recebe sustentação suficiente para permanecer no ar e, ao mesmo tempo, tem velocidade horizontal suficiente para cobrir uma grande distância.


Exercícios resolvidos sobre o alcance de um projétil

EXERCÍCIO 1

Uma bola de futebol é chutada em um ângulo de 30° com a horizontal a uma velocidade inicial de 25 m/s. Qual a distância que a bola de futebol percorre horizontalmente? Suponha que não haja resistência do ar e considere $latex g = 9,8$ m/s².

Solução

EXERCÍCIO 2

Uma bola de beisebol é atingida a uma velocidade de 40 m/s em um ângulo de 30° em relação à horizontal. Qual é a distância percorrida pela bola de beisebol antes de atingir o solo? Suponha que não haja resistência do ar e use $latex g = 9,8$ m/s².

Solução

EXERCÍCIO 3

Um jogador de golfe bate uma bola de golfe em um ângulo de 35° horizontalmente com uma velocidade inicial de 60 m/s. Qual a distância que a bola de golfe percorrerá horizontalmente?

Solução

EXERCÍCIO 4

Um atleta lança um dardo com uma velocidade inicial de 33 m/s em um ângulo de 35° em relação à horizontal. Qual é o alcance do lançamento do dardo? Suponha que não haja resistência do ar.

Solução

EXERCÍCIO 5

Qual a distância percorrida pela água em uma fonte que lança água a uma velocidade de 10 m/s em um ângulo de 40° com a horizontal?

Solução

EXERCÍCIO 6

Um canhão pode disparar uma bala de canhão com velocidade máxima de 500 m/s. Qual é o alcance máximo da bala de canhão e em que ângulo o canhão deve ser apontado para atingir esse alcance? Ignore a resistência do ar e considere $latex g = 9,8$ m/s².

Solução

EXERCÍCIO 7

Um jogador de golfe pode acertar uma bola de golfe com uma velocidade inicial de 70 m/s. Qual é o alcance máximo que a bola de golfe pode percorrer? Ignore a resistência do ar e use $latex g = 9,8$ m/s².

Solução

Alcance de um projétil – Problemas práticos

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Jefferson Huera Guzman

Jefferson é o principal autor e administrador do Neurochispas.com. O conteúdo interativo de Matemática e Física que criei ajudou muitos alunos.

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