Derivadas Usando Limites – Exercícios Resolvidos

Para encontrar a derivada de uma função com limites, temos que usar a seguinte fórmula:

$$f'(x)=\lim _{h \to 0}\frac{f(x+h)-f(x)}{h}$$

Então, usamos a função $latex f(x)=8x$ para reescrever o numerador e temos:

$$f'(x)=\lim _{h \to 0}\frac{8(x+h)-8x}{h}$$

$$f'(x)=\lim _{h \to 0}\frac{8x+8h-8x}{h}$$

$$f'(x)=\lim _{h \to 0}\frac{8h}{h}$$

Agora, podemos simplificar o h no numerador com o h no denominador:

$$f'(x)=\lim _{h \to 0}(8)$$

Como não temos mais nenhum h, simplesmente removemos o limite:

$latex f'(x)=8$

Usamos a seguinte fórmula para encontrar a derivada:

$$f'(x)=\lim _{h \to 0}\frac{f(x+h)-f(x)}{h}$$

Agora, usamos $latex f(x)=x^2$ no numerador e temos:

$$f'(x)=\lim _{h \to 0}\frac{(x+h)^2-x^2}{h}$$

$$f'(x)=\lim _{h \to 0}\frac{x^2+2hx+h^2-x^2}{h}$$

$$f'(x)=\lim _{h \to 0}\frac{2hx+h^2}{h}$$

Fatorando o h do numerador e simplificando com o h do denominador, temos:

$$f'(x)=\lim _{h \to 0}\frac{h(2x+h)}{h}$$

$$f'(x)=\lim _{h \to 0}(2x+h)$$

Podemos resolver o limite substituindo $latex h=0$ na expressão:

$latex f'(x)=2x+0$

$latex f'(x)=2x$

Usamos a fórmula para uma derivada por limites:

$$f'(x)=\lim _{h \to 0}\frac{f(x+h)-f(x)}{h}$$

Para resolver, usamos a função $latex f(x)=4x^2+5$ no numerador da fórmula:

$$f'(x)=\lim _{h \to 0}\frac{(4(x+h)^2+5)-(4x^2+5)}{h}$$

$$f'(x)=\lim _{h \to 0}\frac{4(x^2+2hx+h^2)+5-4x^2-5}{h}$$

$$f'(x)=\lim _{h \to 0}\frac{4x^2+8hx+4h^2+5-4x^2-5}{h}$$

$$f'(x)=\lim _{h \to 0}\frac{8hx+4h^2}{h}$$

Podemos fatorar o h no numerador e simplificar com o h no denominador:

$$f'(x)=\lim _{h \to 0}\frac{h(8x+4h)}{h}$$

$$f'(x)=\lim _{h \to 0}(8x+4h)$$

Para resolver o limite, substituímos $latex h=0$ na expressão:

$latex f'(x)=8x+4(0)$

$latex f'(x)=8x$

Começamos com a seguinte fórmula:

$$f'(x)=\lim _{h \to 0}\frac{f(x+h)-f(x)}{h}$$

Agora, usamos a função $latex f(x)=3x^2+5x$ no numerador e temos:

$$f'(x)=\lim _{h \to 0}\frac{(3(x+h)^2+5(x+h))-(3x^2+5x)}{h}$$

$$f'(x)=\lim _{h \to 0}\frac{3(x^2+2hx+h^2)+5x+5h-3x^2-5x}{h}$$

$$f'(x)=\lim _{h \to 0}\frac{3x^2+6hx+3h^2+5x+5h-3x^2-5x}{h}$$

$$f'(x)=\lim _{h \to 0}\frac{6hx+3h^2+5h}{h}$$

Fatorando o h do numerador e simplificando com o denominador, temos:

$$f'(x)=\lim _{h \to 0}\frac{h(6x+3h+5)}{h}$$

$$f'(x)=\lim _{h \to 0}(6x+3h+5)$$

Para resolver o limite, usamos $latex h=0$ e temos:

$latex f'(x)=6x+3(0)+5$

$latex f'(x)=6x+5$

Temos a seguinte fórmula:

$$f'(x)=\lim _{h \to 0}\frac{f(x+h)-f(x)}{h}$$

Então, usamos a função $latex f(x)=4x^2-7x$ no numerador para reescrevê-la:

$$f'(x)=\lim _{h \to 0}\frac{(4(x+h)^2-7(x+h))-(4x^2-7x)}{h}$$

$$f'(x)=\lim _{h \to 0}\frac{4(x^2+2hx+h^2)-7x-7h-4x^2+7x}{h}$$

$$f'(x)=\lim _{h \to 0}\frac{4x^2+8hx+4h^2-7x-7h-4x^2+7x}{h}$$

$$f'(x)=\lim _{h \to 0}\frac{8hx+4h^2-7h}{h}$$

Podemos fatorar o h no numerador para simplificar com o h no denominador e temos:

$$f'(x)=\lim _{h \to 0}\frac{h(8x+4h-7)}{h}$$

$$f'(x)=\lim _{h \to 0}(8x+4h-7)$$

Finalmente, resolvemos o limite, usando $latex h=0$ e temos:

$latex f'(x)=8x+4(0)-7$

$latex f'(x)=8x-7$

Começamos com a fórmula para derivadas por limites:

$$f'(x)=\lim _{h \to 0}\frac{f(x+h)-f(x)}{h}$$

Agora, usamos a função $latex f(x)=6x-x^2$ no numerador e temos:

$$f'(x)=\lim _{h \to 0}\frac{(6(x+h)-(x+h)^2)-(6x-x^2)}{h}$$

$$f'(x)=\lim _{h \to 0}\frac{6x+6h-(x^2+2hx+h^2)-6x+x^2}{h}$$

$$f'(x)=\lim _{h \to 0}\frac{6x+6h-x^2-2hx-h^2-6x+x^2}{h}$$

$$f'(x)=\lim _{h \to 0}\frac{6h-2hx-h^2}{h}$$

Fatoramos o h do numerador para simplificar com o h do denominador:

$$f'(x)=\lim _{h \to 0}\frac{h(6-2x-h)}{h}$$

$$f'(x)=\lim _{h \to 0}(6-2x-h)$$

Usamos o valor $latex h=0$ na expressão para resolver o limite:

$latex f'(x)=6-2x-0$

$latex f'(x)=6-2x$

Começamos com a seguinte fórmula:

$$f'(x)=\lim _{h \to 0}\frac{f(x+h)-f(x)}{h}$$

Usando a função $latex f(x)=x^3$ no numerador, temos:

$$f'(x)=\lim _{h \to 0}\frac{(x+h)^3-x^3}{h}$$

$$f'(x)=\lim _{h \to 0}\frac{x^3+3x^2h+3xh^2+h^3-x^3}{h}$$

$$f'(x)=\lim _{h \to 0}\frac{3x^2h+3xh^2+h^3}{h}$$

Agora, podemos fatorar o h do numerador para simplificar com o denominador:

$$f'(x)=\lim _{h \to 0}\frac{h(3x^2+3xh+h^2)}{h}$$

$$f'(x)=\lim _{h \to 0}(3x^2+3xh+h^2)$$

Usando a substituição $latex h=0$, podemos resolver o limite:

$latex f'(x)=3x^2+3x(0)+0^2$

$latex f'(x)=3x^2$

Temos a fórmula

$$f'(x)=\lim _{h \to 0}\frac{f(x+h)-f(x)}{h}$$

Então, usamos a função $latex f(x)=x^3+4x$ no numerador e temos:

$$f'(x)=\lim _{h \to 0}\frac{((x+h)^3+4(x+h))-(x^3+4x)}{h}$$

$$f'(x)=\lim _{h \to 0}\frac{x^3+3x^2h+3xh^2+h^3+4x+4h-x^3-4x}{h}$$

$$f'(x)=\lim _{h \to 0}\frac{3x^2h+3xh^2+h^3+4h}{h}$$

Agora, vamos fatorar o h do numerador para simplificar:

$$f'(x)=\lim _{h \to 0}\frac{h(3x^2+3xh+h^2+4)}{h}$$

$$f'(x)=\lim _{h \to 0}(3x^2+3xh+h^2+4)$$

Para resolver o limite, usamos a substituição $latex h=0$:

$latex f'(x)=3x^2+3x(0)+0^2+4$

$latex f'(x)=3x^2+4$

Vamos usar a fórmula:

$$f'(x)=\lim _{h \to 0}\frac{f(x+h)-f(x)}{h}$$

Então, usando a função $latex f(x)=\frac{1}{x}$ para reescrever o numerador, temos:

$$f'(x)=\lim _{h \to 0}\frac{\frac{1}{x+h}-\frac{1}{x}}{h}$$

Para simplificar o numerador, podemos usar o denominador comum $latex (x+h)x$ para combinar e subtrair as frações:

$$f'(x)=\lim _{h \to 0}\frac{\frac{x-(x+h)}{x(x+h)}}{h}$$

$$f'(x)=\lim _{h \to 0}\frac{\frac{x-x-h}{x^2+xh)}}{h}$$

$$f'(x)=\lim _{h \to 0}\frac{\frac{-h}{x^2+xh)}}{h}$$

Agora, reescreva a fração e simplifique para o h do numerador e denominador:

$$f'(x)=\lim _{h \to 0}\frac{-h}{h(x^2+xh)}$$

$$f'(x)=\lim _{h \to 0}\frac{-1}{x^2+xh}$$

Finalmente, vamos resolver o limite substituindo $latex h=0$ na expressão:

$$ f'(x)=\frac{-1}{x^2+x(0)}$$

$$f'(x)=-\frac{1}{x^2}$$

Temos a fórmula:

$$f'(x)=\lim _{h \to 0}\frac{f(x+h)-f(x)}{h}$$

Usamos a função raiz quadrada, $latex f(x)=\sqrt{x}$, para reescrever o numerador:

$$f'(x)=\lim _{h \to 0}\frac{\sqrt{x+h}-\sqrt{x}}{h}$$

A expressão do numerador pode ser simplificada multiplicando o numerador e o denominador pelo conjugado do numerador:

$$f'(x)=\lim _{h \to 0}\frac{(\sqrt{x+h}-\sqrt{x})(\sqrt{x+h}+\sqrt{x})}{h(\sqrt{x+h}+\sqrt{x})}$$

$$f'(x)=\lim _{h \to 0}\frac{x+h-x}{h(\sqrt{x+h}+\sqrt{x})}$$

$$f'(x)=\lim _{h \to 0}\frac{h}{h(\sqrt{x+h}+\sqrt{x})}$$

Agora, podemos simplificar o h no numerador com o h no denominador:

$$f'(x)=\lim _{h \to 0}\frac{1}{\sqrt{x+h}+\sqrt{x}}$$

Finalmente, podemos resolver o limite substituindo $latex h=0$ na expressão:

$$f'(x)=\lim _{h \to 0}\frac{1}{\sqrt{x+0}+\sqrt{x}}$$

$$f'(x)=\lim _{h \to 0}\frac{1}{\sqrt{x}+\sqrt{x}}$$

$$f'(x)=\lim _{h \to 0}\frac{1}{2\sqrt{x}}$$