O teorema do fator é frequentemente usado para fatorar um polinômio e encontrar suas raízes. O teorema do resto polinomial é um exemplo disso. O teorema do fator pode ser usado como uma técnica para fatorar polinômios.
Neste artigo, veremos uma prova do teorema do fator, bem como exemplos com respostas e problemas práticos.
Resumo do teorema do fator
O teorema do fator nos permite fatorar qualquer polinômio tentando diferentes fatores possíveis. Basicamente nos diz que se (x-c) é um fator de um polinômio, então devemos ter f(c)=0.
Podemos provar o teorema do fator considerando que o resultado da divisão de um polinômio f(x) por (x–c) é f(c)=0. Portanto, podemos escrever:
$latex f(x)= (x-c)q(x)+f (c)$
f(x) é o polinômio objetivo, enquanto q(x) é o polinômio quociente.
Podemos usar o fato de que f(c)=0, para obter:
$latexf(x)= (x-c)q(x)+f (c)$
$latexf(x) = (x-c)q(x)+0$
$latexf(x) = (x-c)q (x)$
Como resultado, (x-c) é um fator do polinômio f(x).
As seguintes declarações se aplicam a qualquer polinômio f(x):
- O resto é zero quando f(x) é dividido exatamente por (x–c)
- (x-c) é um fator de f(x)
- c é a solução de f(x)
- c é um zero da função f(x), ou f(c)=0
Exercícios de teorema de fator resolvido
Usando a fórmula detalhada acima, podemos resolver vários exemplos de teorema de fator. Cada um dos exemplos a seguir tem sua respectiva solução detalhada. Tente resolver os problemas sozinho antes de olhar para a solução para que você possa praticar e dominar completamente este tópico.
EXERCÍCIO 1
Determine se (x+2) é um fator do polinômio $latex f(x) = {x}^2 + 2x – 4$.
Solução
Primeiro, temos que testar se (x+2) é um fator ou não:
Podemos começar escrevendo da seguinte forma:
x+2=0, onde x=-2
Agora, podemos provar se f(c)=0 pelo teorema do fator:
$latex f(x) = {x}^2 + 2x – 4$
$latex f(-2) = {-2}^2 +2 (-2)- 4$
$latex f(-2) = – 4$
Como f(-2) não é igual a zero, (x+2) não é um fator do polinômio dado.
EXERCÍCIO 2
Determine se (x+3) é um fator do polinômio $latex f(x) = 2{x}^2 + 8x + 6$.
Solução
Vamos testar se (x+2) é um fator do polinômio ou não. Portanto, escrevemos da seguinte forma:
x+3=0, onde x=-3
Agora, podemos usar o teorema do fator para provar se f(c)=0:
$latex f(x) = 2{x}^2 + 8x +6$
$latex f(-3) = 2{(-3)}^2 +8(-3)+6 $
$latex f(-2) = (18)-24 + 6 $
$latex f(-2) = 0$
Como f(-3) é igual a zero, isso significa que (x+3) é um fator polinomial.
EXERCÍCIO 3
Determine se (x+2) é um fator do polinômio f ou não, dado que $latex f(x) = 4{x}^3 – 2{x }^2+ 6x – 8$.
Solução
Para testar se (x+1) é um fator do polinômio ou não, podemos começar escrevendo da seguinte forma:
x+1=0, onde x=3
Agora, provamos se f(c)=0 de acordo com o teorema do fator:
$latex f(x) = 4{x}^3 – 2{x }^2+ 6x + 8$
$latex f(-1) = 4{(-1)}^3 – 2{(-1) }^2+ 6(-1) + 8$
$latex f(-1) = (-4 )- 2- 6 + 8$
$latex f(-1) = 4 $
Como f(-1) não é igual a zero, (x+1) não é um fator polinomial da função.
EXERCÍCIO 4
Determine qual das seguintes funções polinomiais tem o fator (x+3):
$latex f(x) = {x}^2-x -6$, $latex g(x) = {x}^2-4x +4$, $latex h(x) = {x}^2-9$
Solução
Devemos provar os seguintes polinômios:
$latex f(x) = {x}^2-x -6$, $latex g(x) = {x}^2-4x +4$, $latex h(x) = {x}^2-9$
Assumimos que x+3 é um fator dos polinômios, onde x =-3
Primeiro,
$latex f(x) = {x}^2-x -6$
$latex f(-3) = {(-3)}^2-(-3) -6$
$latex f(-3) = 9 + 3 -6 $
$latex f(-3) = 6 $
Segundo,
$latex g(x) = {x}^2-4x +4$
$latex g(-3) = {(-3)}^2-4(-3) +4$
$latex g(-3) = 9+12 +4$
$latex g(-3) = 25$
Terceiro,
$latex h(x) = {x}^2-9$
$latex h(-3) = {(-3)}^2-9$
$latex h(-3) = 9 – 9$
$latex h(-3) = 0 $
Como resultado, h(-3)=0 é o único que satisfaz o teorema do fator.
Então h(x) é uma função polinomial que tem o fator (x+3).
EXERCÍCIO 5
Encontre a solução exata da função polinomial $latex f(x) = {x}^2+ x -6$.
Solução
Para encontrar a solução da função, podemos assumir que (x-c) é um fator polinomial, onde x=c.
Para satisfazer o teorema do fator, temos f(c) = 0. Portanto,
$latex f(x) = {x}^2+ x -6$.
$latex {x}^2+ x -6 = 0$.
Fatoração,
$latex (x+3)(x-2) = 0$.
Disto segue-se que (x+3) e (x-2) são os fatores polinomiais da função.
Então, x+3=0, onde x=-3 e x-2=0, onde x=2
Portanto, as soluções da função são -3 e 2.
EXERCÍCIO 6
Encontre os fatores deste polinômio, $latex F(x)= {x}^2 -9$.
Solução
Para encontrar os fatores do polinômio pelo teorema do fator, o resultado da divisão de um polinômio f(x) por (x-c) é f(c)=0.
Portanto, podemos escrever:
$latex F(x)= {x}^2 -9$
$latex {x}^2 -9 = F(x)$
$latex {x}^2 -9 = o$
Fatorando, temos:
$latex (x+3)(x-3) = 0$.
Então x+3 e x-3 são os fatores do polinômio.
Exercícios de teorema de fatores para resolver
Resolva os seguintes problemas de teorema do fator e teste seus conhecimentos sobre este tópico. Use o teorema do fator detalhado acima para resolver os exercícios. Se você tiver problemas com esses exercícios, poderá estudar os exemplos trabalhados acima.
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Jefferson Huera Guzman
Jefferson é o principal autor e administrador do Neurochispas.com. O conteúdo interativo de Matemática e Física que criei ajudou muitos alunos.
