Encontrar a inversa de uma matriz 2×2 é um processo simples que começa determinando se a matriz é verdadeiramente invertível. Se a matriz for invertível, trocamos as posições dos elementos na diagonal principal, trocamos os sinais dos elementos fora da diagonal e depois dividimos cada elemento pelo determinante da matriz original.
A seguir, exploraremos isso por meio de alguns exemplos tangíveis com soluções detalhadas. Também incluímos problemas práticos para você tentar encontrar o inverso de uma matriz 2×2.
ÁLGEBRA LINEAR
Relevante para…
Aprender a encontrar a matriz inversa de matrizes 2×2.
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Aprender a encontrar a matriz inversa de matrizes 2×2.
Como encontrar a matriz inversa de uma matriz 2×2?
A matriz inversa de uma matriz 2×2 é encontrada dividindo cada elemento da matriz adjunta pelo determinante da matriz original.
Suponha que temos a seguinte matriz 2×2:
$$ A = \begin{pmatrix}a & b \\c & d\end{pmatrix}$$
Para encontrar sua matriz inversa, seguimos os seguintes passos:
Passo 1: Calcula o determinante da matriz (denotado como det(A) ou |A|):
$latex \det(A) = ad – bc $
Passo 2: Verifique se o determinante é diferente de zero (ou seja, det(A) ≠ 0). Se o determinante for zero, a matriz A é singular e não tem inversa.
Se o determinante for diferente de zero, passamos para o próximo passo.
Passo 3: Criamos a matriz adjunta trocando os elementos $latex a$ e $latex d$, e alterando os sinais dos elementos $latex b$ e $latex c$:
$$ \operatorname{adj}(A) = \begin{pmatrix}d & -b \\-c & a\end{pmatrix}$$
Passo 4: Divida cada elemento da matriz adjunta pelo determinante:
$$A^{-1} = \frac{1}{\det(A)} \cdot \operatorname{adj}(A)$$
$$A^{-1} = \begin{pmatrix}\frac{d}{\det(A)} & -\frac{b}{\det(A)} \\-\frac{c}{\det(A)} & \frac{a}{\det(A)}\end{pmatrix}$$
O resultado da matriz inversa da matriz A, denotada como $latex A^{-1}$.
Exercícios resolvidos sobre matriz inversa de matrizes 2×2
EXERCÍCIO 1
Encontre a matriz inversa da matriz 2×2 dada:
$$ A = \begin{pmatrix} 3 & 4 \\ 2 & 5 \end{pmatrix} $$
Solução
Passo 1: Calcule o determinante da matriz (det(A) ou |A|):
$latex \det(A) = ad – bc $
$latex = (3)(5) – (4)(2) $
$latex = 15 – 8 = 7$
Passo 2: Verifique se o determinante é diferente de zero (ou seja,, $latex \det(A) \neq 0$).
$latex \det(A) = 7 \neq 0$
Como o determinante é diferente de zero, passamos para o próximo passo.
Passo 3: Crie a matriz adjunta:
$$\operatorname{adj}(A) = \begin{pmatrix}5 & -4 \\-2 & 3\end{pmatrix}$$
Passo 4: Divida cada elemento da matriz adjunta pelo determinante:
$$A^{-1} = \frac{1}{\det(A)} \cdot \operatorname{adj}(A)$$
$$A^{-1} = \frac{1}{7} \begin{pmatrix}5 & -4 \\-2 & 3\end{pmatrix}$$
$$A^{-1} = \begin{pmatrix}\frac{5}{7} & -\frac{4}{7} \\-\frac{2}{7} & \frac{3}{7}\end{pmatrix}$$
EXERCÍCIO 2
Encontre a matriz inversa da seguinte matriz:
$$A = \begin{pmatrix} 7 & 2 \\ 3 & 4 \end{pmatrix} $$
Solução
Começamos calculando o determinante:
$latex \det(A) = (7)(4) – (2)(3)$
$latex = 28 – 6 = 22$
Como o determinante é diferente de zero, prosseguimos para encontrar a matriz adjunta:
$$\operatorname{adj}(A) = \begin{pmatrix}4 & -2 \\-3 & 7\end{pmatrix}$$
Dividimos cada elemento da matriz adjunta pelo determinante:
$$A^{-1} = \frac{1}{\det(A)} \cdot \operatorname{adj}(A)$$
$$A^{-1} = \frac{1}{22} \begin{pmatrix}4 & -2 \\-3 & 7\end{pmatrix}$$
$$A^{-1} = \begin{pmatrix}\frac{4}{22} & -\frac{2}{22} \\ -\frac{3}{22} & \frac{7}{22}\end{pmatrix}$$
$$A^{-1} = \begin{pmatrix}\frac{2}{11} & -\frac{1}{11} \\ -\frac{3}{22} & \frac{7}{22}\end{pmatrix}$$
EXERCÍCIO 3
Qual é a matriz inversa da matriz A?
$$A = \begin{pmatrix}6 & -3 \\4 & -2\end{pmatrix}$$
Solução
Calculando o determinante, temos:
$latex \det(A) = (6)(-2) – (-3)(4)$
$latex = -12 + 12 = 0$
Como o determinante é 0, a matriz A não tem inversa.
EXERCÍCIO 4
Se tivermos a seguinte matriz M, encontre sua matriz inversa:
$$M = \begin{pmatrix}5 & 1 \\2 & 3\end{pmatrix}$$
Solução
Começamos calculando o determinante da matriz:
$latex \det(M) = (5)(3) – (1)(2)$
$latex = 15 – 2 = 13$
Agora, encontramos a matriz adjunta:
$$\operatorname{adj}(M) = \begin{pmatrix}3 & -1 \\-2 & 5\end{pmatrix}$$
Dividindo cada elemento da matriz adjunta pelo determinante, temos:
$$M^{-1} = \frac{1}{\det(M)} \cdot \operatorname{adj}(M)$$
$$M^{-1} = \frac{1}{13} \begin{pmatrix}3 & -1 \\-2 & 5\end{pmatrix}$$
$$M^{-1} = \begin{pmatrix}\frac{3}{13} & -\frac{1}{13} \\-\frac{2}{13} & \frac{5}{13}\end{pmatrix}$$
EXERCÍCIO 5
Determine a matriz inversa da matriz B:
$$B = \begin{pmatrix}8 & 5 \\-6 & -3\end{pmatrix}$$
Solução
O determinante da matriz B é:
$latex \det(B) = (8)(-3) – (5)(-6)$
$latex = -24 + 30 = 6$
A matriz adjunta de B é:
$$\operatorname{adj}(B) = \begin{pmatrix}-3 & -5 \\6 & 8\end{pmatrix}$$
Ao dividir cada elemento da matriz adjunta de B pelo determinante, temos:
$$B^{-1} = \frac{1}{\det(B)} \cdot \operatorname{adj}(B)$$
$$B^{-1} = \frac{1}{6} \begin{pmatrix}-3 & -5 \\6 & 8\end{pmatrix}$$
$$B^{-1} = \begin{pmatrix}-\frac{1}{2} & -\frac{5}{6} \\1 & \frac{4}{3}\end{pmatrix}$$
EXERCÍCIO 6
Qual é a inversa da matriz dada?
$$A = \begin{pmatrix}1 & 3 \\4 & 2\end{pmatrix}$$
Solução
Começamos calculando o determinante da matriz A:
$latex \det(A) = (1)(2) – (3)(4)$
$latex = 2 – 12 = -10$
A matriz adjunta de A é:
$$\operatorname{adj}(A) = \begin{pmatrix}2 & -3 \\-4 & 1\end{pmatrix}$$
Ao dividir cada elemento da matriz adjunta pelo determinante, temos:
$$A^{-1} = \frac{1}{\det(A)} \cdot \operatorname{adj}(A)$$
$$A^{-1} = \frac{1}{-10} \begin{pmatrix}2 & -3 \\-4 & 1\end{pmatrix}$$
$$A^{-1} = \begin{pmatrix}-\frac{1}{5} & \frac{3}{10} \\ \frac{2}{5} & -\frac{1}{10}\end{pmatrix}$$
EXERCÍCIO 7
Encontre a matriz inversa da matriz C:
$$C = \begin{pmatrix}3 & -7 \\-1 & 2\end{pmatrix}$$
Solução
Calculamos o determinante da matriz C:
$latex \det(C) = (3)(2) – (-7)(-1) $
$latex = 6 – 7 = -1$
A matriz adjunta de C é:
$$\operatorname{adj}(C) = \begin{pmatrix}2 & 7 \\1 & 3\end{pmatrix}$$
Quando dividimos cada elemento da matriz adjunta de C pelo determinante, temos:
$$C^{-1} = \frac{1}{\det(C)} \cdot \operatorname{adj}(C)$$
$$C^{-1} = \frac{1}{-1} \begin{pmatrix}2 & 7 \\1 & 3\end{pmatrix}$$
$$C^{-1} = \begin{pmatrix}-2 & -7 \\-1 & -3\end{pmatrix}$$
EXERCÍCIO 8
Se tivermos a seguinte matriz, qual é sua matriz inversa?
$$A = \begin{pmatrix}-1 & 4 \\5 & -2\end{pmatrix}$$
Solução
Encontramos o determinante da matriz:
$latex \det(A) = (-1)(-2) – (4)(5)$
$latex = 2 – 20 = -18$
Agora, encontramos a matriz adjunta de A:
$$\operatorname{adj}(A) = \begin{pmatrix}-2 & -4 \\-5 & -1\end{pmatrix}$$
Finalmente, dividimos cada elemento da matriz adjunta pelo determinante:
$$A^{-1} = \frac{1}{\det(A)} \cdot \operatorname{adj}(A)$$
$$A^{-1} = \frac{1}{-18} \begin{pmatrix}-2 & -4 \\-5 & -1\end{pmatrix}$$
$$A^{-1} = \begin{pmatrix}\frac{1}{9} & \frac{2}{9} \\ \frac{5}{18} & \frac{1}{18}\end{pmatrix}$$
EXERCÍCIO 9
Encontre a matriz inversa da seguinte matriz:
$$ A = \begin{pmatrix} \frac{1}{2} & \frac{5}{4} \\ \frac{7}{4} & -\frac{3}{2} \end{pmatrix} $$
Solução
Começamos encontrando o determinante da matriz:
$$\det(A) = \left(\frac{1}{2}\right)\left(-\frac{3}{2}\right) – \left(\frac{5}{4}\right)\left(\frac{7}{4}\right)$$
$$ = -\frac{3}{4} – \frac{35}{16} = -\frac{47}{16}$$
Agora, encontramos a matriz adjunta:
$$\operatorname{adj}(A) = \begin{pmatrix} -\frac{3}{2} & -\frac{5}{4} \\ -\frac{7}{4} & \frac{1}{2}\end{pmatrix}$$
Dividimos cada elemento da matriz adjunta pelo determinante:
$$A^{-1} = \frac{1}{\det(A)} \cdot \operatorname{adj}(A)$$
$$A^{-1} = \frac{1}{-\frac{47}{16}} \begin{pmatrix} -\frac{3}{2} & -\frac{5}{4} \\-\frac{7}{4} & \frac{1}{2}\end{pmatrix}$$
$$ A^{-1} = -\frac{16}{47} \begin{pmatrix} -\frac{3}{2} & -\frac{5}{4} \\ -\frac{7}{4} & \frac{1}{2} \end{pmatrix} $$
$$ A^{-1} = \begin{pmatrix} \frac{48}{94} & \frac{80}{94} \\ \frac{112}{94} & \frac{16}{94} \end{pmatrix} $$
$$ A^{-1} = \begin{pmatrix} \frac{24}{47} & \frac{40}{47} \\ \frac{56}{47} & \frac{8}{47} \end{pmatrix} $$
EXERCÍCIO 10
Dada a seguinte matriz, encontre sua matriz inversa:
$$M = \begin{pmatrix}\sqrt{2} & -\sqrt{3} \\2\sqrt{3} & -\sqrt{6}\end{pmatrix}$$
Solução
Calculamos o determinante:
$$\det(A) = (\sqrt{2})(-\sqrt{6}) – (-\sqrt{3})(2\sqrt{3})$$
$$ = -2\sqrt{3} + 6 = 6 – 2\sqrt{3}$$
Encontramos a matriz adjunta:
$$\operatorname{adj}(A) = \begin{pmatrix}-\sqrt{6} & \sqrt{3} \\ -2\sqrt{3} & \sqrt{2}\end{pmatrix}$$
Dividimos cada elemento da matriz adjunta pelo determinante:
$$A^{-1} = \frac{1}{\det(A)} \cdot \operatorname{adj}(A)$$
$$A^{-1} = \frac{1}{6 – 2\sqrt{3}} \begin{pmatrix}-\sqrt{6} & \sqrt{3} \\-2\sqrt{3} & \sqrt{2}\end{pmatrix}$$
Racionalizamos o denominador:
$$A^{-1} = \frac{6 + 2\sqrt{3}}{(6 – 2\sqrt{3})(6 + 2\sqrt{3})} \begin{pmatrix}-\sqrt{6} & \sqrt{3} \\-2\sqrt{3} & \sqrt{2}\end{pmatrix}$$
$$A^{-1} = \frac{6 + 2\sqrt{3}}{24} \begin{pmatrix}-\sqrt{6} & \sqrt{3} \\-2\sqrt{3} & \sqrt{2}\end{pmatrix}$$
$$A^{-1} = \begin{pmatrix} \frac{6 + 2\sqrt{3}}{24} (-\sqrt{6}) & \frac{6 + 2\sqrt{3}}{24} (\sqrt{3}) \\ \frac{6 + 2\sqrt{3}}{24} (-2\sqrt{3}) & \frac{6 + 2\sqrt{3}}{24} (\sqrt{2}) \end{pmatrix} $$
$$A^{-1} = \begin{pmatrix} \frac{-6\sqrt{6} – 2\sqrt{18}}{24} & \frac{6\sqrt{3} + 2\sqrt{9}}{24} \\ \frac{-12\sqrt{3} – 4\sqrt{9}}{24} & \frac{6\sqrt{2} + 2\sqrt{6}}{24} \end{pmatrix}$$
$$A^{-1} = \begin{pmatrix} \frac{-6\sqrt{6} – 6\sqrt{2}}{24} & \frac{6\sqrt{3} + 6}{24} \\ \frac{-12\sqrt{3} – 12}{24} & \frac{6\sqrt{2} + 2\sqrt{6}}{24} \end{pmatrix} $$
$$A^{-1}= \begin{pmatrix} \frac{-\sqrt{6}-\sqrt{2}}{4}& \frac{\sqrt{3}+1}{4} \\ \frac{-\sqrt{3}-1}{2} & \frac{\sqrt{2}}{4} + \frac{\sqrt{6}}{12} \end{pmatrix} $$
Exercícios de matriz inversa de matrizes 2×2 para resolver
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Veja também
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–
Jefferson Huera Guzman
Jefferson é o principal autor e administrador do Neurochispas.com. O conteúdo interativo de Matemática e Física que criei ajudou muitos alunos.
