Os determinantes fornecem informações valiosas sobre as propriedades das matrizes e dos sistemas que elas representam. O determinante de uma matriz 2×2 $latex A=\begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix} $ é igual a $latex ∣A∣=(a\times d)−(b\times c )$.
Neste artigo, exploraremos o significado do determinante, nos aprofundaremos no processo passo a passo de cálculo do determinante para uma matriz 2×2 e resolveremos alguns exercícios.
ÁLGEBRA LINEAR
Relevante para…
Aprender sobre o determinante de matrizes 2×2 com exercícios.
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Como encontrar o determinante de uma matriz 2×2?
Para encontrar o determinante de uma matriz 2×2, temos que multiplicar o elemento $latex b$ por $latex c$ e subtrair do produto de $latex a$ e $latex d$.
Dada uma matriz 2×2
$$ A = \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix} $$
O determinante de A, denotado como $latex |A|$ ou $latex \det(A)$, é calculado da seguinte forma:
Passo 1: Multiplique os elementos da diagonal principal (do canto superior esquerdo para o canto inferior direito):
$latex a \cdot d $
Passo 2: Multiplique os elementos da segunda diagonal (de cima para baixo):
$latex b \cdot c $
Passo 3: Subtraia o produto do passo 2 (segunda diagonal) do produto do passo 1 (diagonal principal):
$$ |A| = (a \cdot d) – (b \cdot c) $$
O resultado deste cálculo é o determinante da matriz 2×2 A.
Exercícios resolvidos sobre determinante de matrizes 2×2
EXERCÍCIO 1
Encontre o determinante da seguinte matriz:
$$ A = \begin{bmatrix} 3 & 4 \\ 5 & 6 \end{bmatrix} $$
Solução
Passo 1: Identifique os elementos da matriz. Neste caso, $latex a=3$, $latex b=4$, $latex c=5$ e $latex d=6$.
Passo 2: Multiplique os elementos da diagonal principal (do canto superior esquerdo para o canto inferior direito):
$$ a \cdot d = 3 \cdot 6 = 18 $$
Passo 3: Multiplique os elementos da segunda diagonal (de cima para baixo):
$$ b \cdot c = 4 \cdot 5 = 20 $$
Passo 4: Subtraia o produto do passo 3 do produto do passo 2:
$$ |A| = (a \cdot d) – (b \cdot c)$$
$$ = 18 – 20 = -2 $$
EXERCÍCIO 2
Encontre o determinante da seguinte matriz:
$$A=\begin{bmatrix}4 & 7\\-3 & 5\end{bmatrix}$$
Solução
Como já vimos como encontrar passo a passo o determinante de uma matriz 2×2 no exercício anterior, vamos resolvê-lo simplesmente aplicando a fórmula.
Usando a fórmula $latex \det(A) = ad – bc$, onde $latex a=4, b=7, c=-3$ e $latex d=5$, temos:
$$\det(A) = (4)(5) – (7)(-3) $$
$$= 20 + 21 = 41$$
EXERCÍCIO 3
Calcule o determinante da seguinte matriz:
$$B=\begin{bmatrix}-2 & 9\\4 & -6\end{bmatrix}$$
Solução
Novamente, vamos aplicar a fórmula do determinante diretamente.
Aplicamos a fórmula $latex \det(B) = ad – bc$, com os valores $latex a=-2, b=9, c=4$ e $latex d=-6$:
$latex \det(B) = (-2)(-6) – (9)(4)$
$latex = 12 – 36 = -24$
EXERCÍCIO 4
Encontre o determinante da seguinte matriz:
$$C=\begin{bmatrix}3 & -5\\-1 & 2\end{bmatrix}$$
Solução
Podemos reconhecer os valores $latex a=3, b=-5, c=-1$ e $latex d=2$. Então, usamos a fórmula $latex \det(C) = ad – bc$ com estes valores:
$$\det(C) = (3)(2) – (-5)(-1)$$
$$ = 6 – 5 = 1$$
EXERCÍCIO 5
Qual é o determinante da seguinte matriz?
$$A=\begin{bmatrix}5 & 8\\ 2 & 3\end{bmatrix}$$
Solução
Substituímos os valores $latex a=5, b=8, c=2$ e $latex d=3$ na fórmula $latex \det(A) = ad – bc$:
$$\det(A) = (5)(3) – (8)(2) $$
$$= 15 – 16 = -1$$
EXERCÍCIO 6
Calcule o determinante da matriz B:
$$B=\begin{bmatrix}6 & -2\\ -4 & 3\end{bmatrix}$$
Solução
Usando a fórmula $latex \det(B) = ad – bc$, com os valores $latex a=6, b=-2, c=-4$, e $latex d=3$, temos:
$$ \det(B) = (6)(3) – (-2)(-4)$$
$$ = 18 – 8 = 10$$
EXERCÍCIO 7
Qual é o determinante da matriz C?
$$C=\begin{bmatrix}9 & 4\\ 7 & 3\end{bmatrix}$$
Solução
Aplicamos a fórmula $latex \det(C) = ad – bc$, onde $latex a=9, b=4, c=7$ e $latex d=3$:
$$ \det(C) = (9)(3) – (4)(7)$$
$$ = 27 – 28 = -1$$
EXERCÍCIO 8
Encontre o determinante da seguinte matriz:
$$A=\begin{bmatrix}\frac{1}{2} & -\frac{3}{4}\\ -\frac{1}{3} & \frac{5}{6}\end{bmatrix}$$
Solução
Este é um problema mais complicado porque temos valores fracionários. No entanto, procedemos da mesma maneira:
Aplicamos a fórmula $latex \det(A) = ad – bc$, com $latex a=\frac{1}{2}, b=-\frac{3}{4}, c=-\frac{1}{3}$, e $latex d=\frac{5}{6}$:
$$\det(A) = \left(\frac{1}{2}\right)\left(\frac{5}{6} \right) – \left(-\frac{3}{4}\right)\left(-\frac{1}{3}\right)$$
$$ = \frac{5}{12} – \frac{1}{4} = \frac{1}{6}$$
EXERCÍCIO 9
Calcule o determinante da seguinte matriz:
$$B=\begin{bmatrix}\sqrt{2} & \frac{3}{\sqrt{2}}\\ \sqrt{3} & \sqrt{6}\end{bmatrix}$$
Solução
Neste caso, temos raízes quadradas nos elementos, mas utilizamos o mesmo processo.
Aplicamos a fórmula $latex \det(B) = ad – bc$, com $latex a=\sqrt{2}, b=\frac{3}{\sqrt{2}}, c=\sqrt{3}$, e $latex d=\sqrt{6}$:
$$\det(B) = (\sqrt{2})(\sqrt{6}) – \left(\frac{3}{\sqrt{2}}\right)(\sqrt{3}) $$
$$= 2\sqrt{3} – \frac{3\sqrt{6}}{2} $$
$$= 2\sqrt{3} – 3\sqrt{\frac{3}{2}}$$
EXERCÍCIO 10
Encontre o determinante da matriz:
$$C=\begin{bmatrix}2x & 3y\\ 4y & -5x\end{bmatrix}$$
Solução
Neste caso, temos variáveis nos elementos, então o determinante será uma expressão algébrica.
Usamos $latex a=2x, b=3y, c=4y$, e $latex d=-5x$ na fórmula $latex \det(C) = ad – bc$:
$$\det(C) = (2x)(-5x) – (3y)(4y)$$
$$ = -10x^2 – 12y^2$$
Determinant of 2×2 matrices – Practice problems
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Veja também
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Jefferson Huera Guzman
Jefferson é o principal autor e administrador do Neurochispas.com. O conteúdo interativo de Matemática e Física que criei ajudou muitos alunos.
