Matrizes 2×2 são matrizes com duas linhas e duas colunas. Adicionar e subtrair estes tipos de matrizes é muito simples, pois basta adicionar ou subtrair as entradas correspondentes das matrizes.
Neste artigo, exploraremos as regras para adicionar e subtrair matrizes 2×2, fornecer exemplos de como realizar essas operações e resolver alguns problemas práticos.
ÁLGEBRA LINEAR
Relevante para…
Aprender a adicionar e subtrair matrizes com exercícios.
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Como adicionar e subtrair matrizes 2×2?
Para adicionar ou subtrair matrizes 2×2, você deve adicionar ou subtrair as entradas correspondentes de cada matriz.
Isso significa que só precisamos somar ou subtrair os elementos que estão nas mesmas posições nas matrizes.
Por exemplo, vamos considerar duas matrizes 2×2:
$$A = \begin{bmatrix} 1& 2\\ 3& 4\end{bmatrix}$$
$$B = \begin{bmatrix} 5& 6\\ 7& 8\end{bmatrix}$$
Para adicionar essas matrizes, basta adicionar as entradas correspondentes:
$$A+B = \begin{bmatrix} 1+5& 2+6\\ 3+7& 4+8\end{bmatrix}$$
$$A+B = \begin{bmatrix} 6& 8\\ 10& 12\end{bmatrix}$$
Para subtrair as matrizes, subtraímos as entradas correspondentes:
$$A-B = \begin{bmatrix} 1-5& 2-6\\ 3-7& 4-8\end{bmatrix}$$
$$A-B = \begin{bmatrix} -4& -4\\ -4& -4\end{bmatrix}$$
Nota: Tenha em mente que você só pode adicionar ou subtrair matrizes do mesmo tamanho, portanto, neste caso, ambas as matrizes devem ser matrizes 2×2.
Exercícios resolvidos de adição e subtração de matrizes 2×2
EXERCÍCIO 1
Encontre a soma das seguintes matrizes:
$$A = \begin{bmatrix} 2& 3\\ 4& 5\end{bmatrix}$$
$$B = \begin{bmatrix} 1& 1\\ 2& 2\end{bmatrix}$$
Solução
Para resolver esta soma, basta somar as entradas correspondentes:
$$A+B = \begin{bmatrix} 2+1& 3+1\\ 4+2& 5+2\end{bmatrix}$$
$$A+B = \begin{bmatrix} 3& 4\\ 6& 7\end{bmatrix}$$
EXERCÍCIO 2
Determine a subtração AB das seguintes matrizes:
$$A = \begin{bmatrix} 2& 3\\ 4& 5\end{bmatrix}$$
$$B = \begin{bmatrix} 1& 1\\ 2& 2\end{bmatrix}$$
Solução
Neste caso, subtraímos os elementos correspondentes da matriz B dos elementos correspondentes da matriz A:
$$A-B = \begin{bmatrix} 2-1& 3-1\\ 4-2& 5-2\end{bmatrix}$$
$$A-B = \begin{bmatrix} 1& 2\\ 2& 3\end{bmatrix}$$
EXERCÍCIO 3
Qual é o resultado da subtração B-A?
$$A = \begin{bmatrix} 5& 7\\ 1& 8\end{bmatrix}$$
$$B = \begin{bmatrix} 6& 2\\ 9& 3\end{bmatrix}$$
Solução
Observe que a subtração BA não é igual à subtração AB. Devemos colocar as matrizes na ordem correta para obter o resultado:
$$B-A = \begin{bmatrix} 6-5& 2-7\\ 9-1& 3-8\end{bmatrix}$$
$$B-A = \begin{bmatrix} 1& -5\\ 8& -5\end{bmatrix}$$
EXERCÍCIO 4
Encontre o resultado da adição e subtração (AB) das seguintes matrizes:
$$A = \begin{bmatrix} 2 & 0 \\ 0 & 3 \end{bmatrix} $$
$$B = \begin{bmatrix} 4 & 0 \\ 0 & 4 \end{bmatrix}$$
Solução
Somando as duas matrizes fornecidas, temos:
$$A + B = \begin{bmatrix} 2+4 & 0+0 \\ 0+0 & 3+4 \end{bmatrix}$$
$$A+B = \begin{bmatrix} 6 & 0 \\ 0 & 7 \end{bmatrix}$$
Subtraindo as duas matrizes, temos:
$$A – B = \begin{bmatrix} 2-4 & 0-0 \\ 0-0 & 3-4 \end{bmatrix}$$
$$A-B = \begin{bmatrix} -2 & 0 \\ 0 & -1 \end{bmatrix}$$
EXERCÍCIO 5
Encontre a soma e a diferença AB das seguintes matrizes:
$$A = \begin{bmatrix} -3 & 4 \\ 2 & -1 \end{bmatrix}$$
$$B = \begin{bmatrix} 1 & -4 \\ -2 & 3 \end{bmatrix}$$
Solução
Quando somamos as matrizes A e B, temos:
$$A + B = \begin{bmatrix} -3+1 & 4-4 \\ 2-2 & -1+3 \end{bmatrix} $$
$$A+B= \begin{bmatrix} -2 & 0 \\ 0 & 2 \end{bmatrix} $$
Quando subtraímos a matriz B da matriz A, temos:
$$A – B = \begin{bmatrix} -3-1 & 4+4 \\ 2+2 & -1-3 \end{bmatrix} $$
$$A-B= \begin{bmatrix} -4 & 8 \\ 4 & -4 \end{bmatrix}$$
EXERCÍCIO 6
Encontre os valores de $latex a$ e $latex b$ com as seguintes informações:
$$A = \begin{bmatrix} -8 & a \\ 6 & -5 \end{bmatrix}$$
$$B = \begin{bmatrix} 2 & -5 \\ b & 3 \end{bmatrix}$$
$$A+B = \begin{bmatrix} -6 & -1 \\ -2 & -2 \end{bmatrix}$$
Solução
Este exercício é diferente dos anteriores. Neste caso, temos que determinar o valor de um elemento em cada matriz sabendo a soma dos arrays.
Para resolver isso, formamos a soma em cada posição necessária:
$latex a+(-5)=-1$
$latex 6+b=-2$
Agora resolvemos as equações:
$latex a=4$
$latex b=-8$
EXERCÍCIO 7
Quais são os valores de $latex m$ e $latex n$?
$$A = \begin{bmatrix} 7 & 12 \\ 7 & n\end{bmatrix}$$
$$B = \begin{bmatrix} -m & 3 \\ -7 & -13 \end{bmatrix}$$
$$B-A = \begin{bmatrix} -4 & -9 \\ -14 & -16 \end{bmatrix}$$
Solução
Semelhante ao exercício anterior, vamos formar uma equação com cada posição necessária:
$latex -4-(-m)=7$
$latex -16-(-13)=n$
Agora resolvemos as equações:
$latex m=11$
$latex n=-3$
EXERCÍCIO 8
Encontre o resultado de A + B-C:
$$A = \begin{bmatrix} -2 & 5 \\ 1 & -4 \end{bmatrix}$$
$$B = \begin{bmatrix} 3 & -6 \\ -4 & 7 \end{bmatrix}$$
$$C = \begin{bmatrix} -1 & 0 \\ 2 & 3 \end{bmatrix}$$
Solução
Pela propriedade associativa da adição de matrizes, podemos escrever (A + B – C) = (A + B) – C.
Então, começamos encontrando o resultado da soma A+B:
$$(A + B) = \begin{bmatrix} -2+3 & 5+(-6) \ 1+(-4) & -4+7 \end{bmatrix}$$
$$= \begin{bmatrix} 1 & -1 \ -3 & 3 \end{bmatrix}$$
Então, podemos subtrair C de (A+B):
$$(A + B) – C = \begin{bmatrix} 1-(-1) & -1-0 \ -3-2 & 3-3 \end{bmatrix}$$
$$= \begin{bmatrix} 2 & -1 \ -5 & 0 \end{bmatrix}$$
Exercícios de adição e subtração de matrizes 2×2 para resolver
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Veja também
Interessado em aprender mais sobre matrizes? Você pode consultar estas páginas:
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Jefferson Huera Guzman
Jefferson é o principal autor e administrador do Neurochispas.com. O conteúdo interativo de Matemática e Física que criei ajudou muitos alunos.
